上海大学2009年度研究生入学考试题
数学分析 1. 1222lim 0,lim 0n n n n a a na a n
→∞→∞++== 求 2.叙述一致连续定义。

问()22cos cos g x x x =+是否是周期函数？证之
3. ()f x 在[)1,+∞可导，()()()
22111,f f x x f x ′==+且证()lim x f x →+∞存在且极限小于14π
+ 41
2
0sin ,x I dx x
= ∫误差<0.0005 5.()()(0,)13,,0,
f x C f x y ∈+∞ = >当()()()111,xy y x f t dt x f t dt y f t dt =+∫∫∫()f x 求 6. ()f x 在[],a b 可积.
()[][]0,,,b a f x dx a b αβ≠ ⊆∫是否存在，[](),f x αβ 使上为恒正或者恒负。

证之
7. }{()1lim 01n
n n n
n n x x x ∞→+∞== −∑在的条件下，试问收敛吗？证之 8. ()f x 在[)1,+∞单减连续可微，()lim 0,x f x →+∞
= ()()1lim 0x xf x dx xf x +∞→∞
=∫证明：当收敛，则 9.证明： ()1,2n n f x x n = =，，…在[)0,1非一致收敛，但()()[)S 1,20,1n
n g x x x n = =，，…在上一致收敛，其中()S x 在[)0,1上连续且()S 1=0
10()[]01f x C ∈ ，，证明：()()()10lim 11n x n x f x dx f →+∞+=∫
11a<b, ()()[]()}{:,0b a S x x a b x dx ϕϕϕ==∫在上可积且
, ()f x 在[],a b 上连续，若()()0b a
f x x dx ϕ=∫，任意()x S ϕ∈成立，让()f x 恒为常数
=()0,0,0,0x y z a >>>>任取一点做切平面，求该切平面截三坐标轴所得三线段长度之和
13.中心在原点的2222221Ax By Cz Dxy Eyz Fxz +++++=的长半轴l 是下行列式的最大
实根2
22111A D F l D B E l F E C l −
− −
14.L 是从()1,0A −经过()2210x y y += ≥到()1,0B 的线段， 求：2222,0x y
x ay I dx dy a x ay x ay −+=+>++∫
15.求()()21f x x =−在[)0,1上展开成余弦级数，并证明2
2221
111623n π=+++++。