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例题1
某电话局忙时平均呼叫率为1000次，则平均来 话时间间隔为多少？平均来话间隔小于等于10 秒的概率是多少？
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泊松过程的附加特性
假定有m个独立的泊松流，它们的到达率分 别为λ1 λ2 ……λn，则复合流本身也是泊松流 ，其速率参数
m
证明： n,
n n Pn P0 n / n!
P0 e
Pn n e / n! （也是泊松分布）
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M/M/m特例3
有限服务机但无存储器的情况M/M/m(m)
在这个系统中， i , nn
m
概率归一化条件为， Pn 1
n0
于是
Pn
n / n!
m
l / l!
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大群化效应
以PB ≤ 0.1为例，传10爱尔兰业务量，要由10个m=3 系统分散处理，共需30条线，系统效率η=0.31：
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也可用一个M/M/13即拒系统传，同样传10爱尔 兰，保证PB≤0.1，比方案一省17条线，η提高一 倍多（0.31→0.705）。
这四个统计量可以归纳为与λ、μ的关系：
E(n)
(系统中平均顾客数)
E(T) 1
(顾客平均逗留时间)
E(q)
(平均等待顾客数)
E(w) (平均等待时间)
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M/M/1/N(推广到存储容量为N的有限队
列排队系统)
N
N对应的状态概率的归一性条件为： Pn 1 n0
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模型及状态转移图
μ1 λ
┇
μm
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系统平衡方程
0P 01P 1
(1 1 )P 10 P 02 P 2
(n n ) P n n 1 P n 1 n 1 P n 1
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解平衡方程，可以求得系统的平衡概率：
提纲
排队论基础 电路交换网分析 分组交换网分析
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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基本排队模型
输入 过程
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
•输入过程 (顾客按照怎样的规律到达);
依此类推，
Pn nP0
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在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用
概率归一性条件:
Pn 1
0
求得：
P0 1(队列空的 ) 概率
于是，可以得到无限存储容量M／M／1排队的平衡状 态概率：
P n (1 )n( 1 )
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根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计 特性。根据随机变量平均值的定义，排队系统中的平 均顾客数(包括正在被服务的一个)可以表示为：
如果要求报文在集中器中平均延时小于1秒，最多 可容纳多少个输入端？
假设有60个输入端，系统的业务强度是多少？缓冲 器中存储的报文数有多少？
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
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M/M/m排队
M/M/m排队系统是一个多服务员指数排队系统 ，属于到达率和离开率依赖于系统状态的排队 系统。例如没有“顾客等候室”的电路交换系统 属于这一种。
λP0 =μP1 (λ+μ)P1 =λP0 +μP2
┇
(λ+μ)Pn =λPn-1+μPn+1
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在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态 保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程 ，我们可以得到：
P1
P0
P0
P 2 ( 1 ) P 1 P 0 2 P 0
p (k ) (T )ke T/k !(k 0 ,1 ,2 ......)
其平均值E(k)和 方差：
E(k)kp(k)T k0
k 2E (k2)E 2(k)
E(k)T
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泊松过程和负指数分布的关系
如果到达是个泊松过程，则到达的时间间隔服从负 指数分布，反之亦然。
证明：设是一个随即变量，代表任一时间起点与第一次到
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式中，B(N,A)表示流入话务量为A，中继线数 为N时的呼损概率，式中用A＝λ/μ，表示系统 的业务强度，对于电话网就是系统承受的电话 负荷（话务量）
例如，电话网的平均来话率λ＝300次/时，每次 通话平均时间2分钟（即1/μ＝2分钟），则此电 话网的流入话务量A＝10 Erl。
话务量单位用Erl(爱尔兰，Erlang),是为了纪念 丹麦话务理论家A.K.Erlang而命名的。话务量 单位也可以用每小时百秒呼（ccs）来表示。 Erl与ccs的关系是：Erl=36ccs。
可见集中器，复用器的必要性！
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M/M/m(m)模型在实际系统的意义
顾客以泊松过程到达，并总能找到一条中继线，直 到全部中继线占完。这时，顾客就不允许再进入了。 这一模型常用于电路交换网的分析，由于系统不允 许排队（无存储），所以被称为呼损系统，其主要 的性能参数是呼损概率。
我们可以求得：
P0
(1) 1N1
所以有限队列M／M／1排队的状态概率为：Pn
(1) 1N1
排队系统全满的概率，即系统阻塞概率为：
PN
(1)N 1N1
2021/2/18
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例题2
有一个集中器被模型化为一个M/M/1排队，输 出线的容量为1200bps，平均报文长度为100bit 。它有N个输入端。每个平均输入率为0.1个报 文/秒。计算：
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总结
网络的性能分析在网络管理中具有重要作用。 排队论是通信网性能分析中的常用工具。 在通信网络中，最常用的排队模型是M/M/m，
其中呼叫（分组）到达和离去过程都服从泊松 分布。 电路交换系统的基本设计模型是M/M/m(m)。
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Pn P0
i0 n
i
i1
式中，P0为概率常数，可以利用概率归一性条件来求 解。
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i
i i (im) i m(im)
利用上述条件可以得到平衡概率：
n
Pn
P0 P0
n!
n
m!mnm
(nm) (nm)
P 0 m k 0 1 k 1 !k m 1 !1 - 1
达之间的时间，取任一值t，则
时间起点
t
第一次到达
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P (t)pr(在 o0 b ,t） （中 0 到 )P (0 ) 达 e t 数 P (t) 1 e t
这正是随机变量的概率分布函数：
F (t) 1 et (负指数分布)
概率密度函数f (t) et
E( ) 0f ( )d 1/
E(n) 0 nn P1
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M/M/1排队的平均队长
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Little公式
Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平 均到达率λ、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间 的关系，这一关系式对所有排队系统，包括具有优 先级排队规则的系统都是适用的。
M/G/1 排队
表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。
M/D/1 排队
表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。
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排队论基础
排队模型 泊松过程
定义 性质
M/M/1排队 M/M/m排队
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泊松过程定义
用下面三个条件来对泊松过程进行定义。
i i 1
（证明略）
2021/2/18
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排队论基础
排队模型 泊松过程 M/M/1排队 M/M/m排队
2021/2/18
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M/M/1排队
泊松
到达
μ
λ 无限大 负 指 缓存器 数 服 务
系统服务强度ρ＝λ/μ
利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系
统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、
顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待
时间E(w)等。
2021/2/18
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假设，当系统中有n 个顾客时，称此系统处于 状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由 此，我们可以用下图表示系统的状态转移关系 。
2021/2/18
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在系统状态图中，有顾客到达时，状态以λ速 率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速 率μ向左移动一步。在系统处于统计平衡状态 下，可列出系统统计平衡方程：
平稳性:在区间[a，a+△t] 内有k个顾客到来的概率与
起点a无关，只与时间区间的长度有关。