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高等数学（A2）试卷（二）
答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
1. B,
2. D,
3. B,
4. C,
5. D,
6. B,
7. D,
8. B.
二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）
1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得
03332='--'x x z xy yz z z (1分)
解得 xy
z yz
z x -=
'2
(3分) 方程两边对x 求导,得 xy
z xz
z y -=
'2
(5分) 所以, )(2
xdy ydx xy
z z
dz +-= (7分) 2． 求⎰⎰
-=
D
dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.
解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰
⎰
-=
10
22x dy y x dx I (2分)
令t x y cos =, 则有
⎰
⎰=10
20
22
sin π
tdt dx x I (6分)
12
π
=
(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.
解: x
x x f --=11ln )(5 (2分)
由∑
∞=-≤<--=
+11
)11()
1()1ln(i n
n t n
t t , 可得 (4分) ∑∞
=<≤--=-155
)11()1ln(i n
x n x x (5分) ∑∞
=<≤--=-1)11()1ln(i n
x n
x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞
=<≤--=151)11()(i n
i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1
cos 1222-=-+'x x
y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--
x e x dx
x x
μ得 (2分)
x y x dx
d
cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1
sin 2
-+=x c
x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1
1
sin 2
--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)
用高斯公式计算⎰⎰
∑
++=
dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体
c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.
解: 由高斯公式可得
２
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
++=++=zdxdydz
ydxdydz xdxdydz dxdydz
z y x I 222)222( (2分)
又因,
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
==b
c
a
bc a xdx dz dy xdxdydz 0
2
22 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω
=c ab ydxdydz 2
2,
⎰⎰⎰Ω
=2
2abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)
四、计算题(本题8分)
确定b 并求出曲线3
2
12
1,,:t z t y t x =
-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.
解: 设Γ上点)121,,(302
000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )4
1,2,1(2
00t t -=τ (2分)
与平面∏的法向量, )1,,1(b n =
平行, 即
1
412112
0t
b t =
-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),3
2,4,2(,4,200
=±-±=±=τM b t (6分)
得切线方程, )4(1
32
44
12-=-
=-+=-b z y x
)4(1
324412=+
=+=+b z y x (8分)
五、证明题(本题8分)
证明曲线积分⎰+-=C
dy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,
并计算积分值, 其中C 为椭圆122
22=+b
y a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从
),0(b A -到),0(b B .
证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy y
y P -=-∂∂
=∂∂
22sin 2)(cos x x x x
x Q -=∂∂
=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)
又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)
所以b x y x y d I b b C
2|cos )cos ()
,0(),0(22===-⎰
(8分)
六、计算题(本题8分)
若)(2
2
y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y
z
x z , 求z , 其中)(r f 有连续
的二阶导数.
解: 记22y x r +=
, 则有
3
2
22222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3
2
22222)()(,)(r
y r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1
)(='+''r f r
r f (4分) 解之得 r
c
r f =
')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)
３
七、应用题(本题8分)
要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?
解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐
的表面积, 则有
)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系
A h r r =+2
3
3
2
ππ, 解之得)32(13
2
r A r h ππ-=
(4分)
代入),(h r S 得 r
A
r r h r S r 238))(,()(2+==πϕ
令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点31
0)83(π
A
r = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,
所以即为所求最小值点, 此时有
002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。