2
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C2 0
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
FN 3 l3 -4 1.58 10 m uB ΔlCD Δl BC -0.3mm EA3
-4
Δl AD Δl AB Δl BC ΔlCD -0.47 10 mm
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
模量G=80GPa，DB=1°. 试求：
x= l , M = 0
M 0
+
Mb l
梁上集中力偶作用处左、右两侧
FRA
A a
M
FRB
C b l B
横截面上的弯矩值(图)发生突变，其
突变值等于集中力偶矩的数值.此处 剪力图没有变化.
M /l
+ +
Mb l
Ma l
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
A
F
B x
l
解：
w
F
A B
x
（1） 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
A a l D B
b
解: 梁的两个支反力为
x
b FRA F l a FRB F l
两段梁的弯矩方程分别为
F FRA
A 1 a D b l 2
FRB
B
x
b M1 FRA x F x l b M2 F x F ( x a) l
(0 x a ) (a x l )
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
在集中荷载作用处的左,右 两侧截面上剪力值(图)有突变, 突变值等于集中荷载F. 弯矩图 形成尖角,该处弯矩值最大.
FRA
A a x
F
FRB
B
C b
x
l
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
例题8 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.
试作此梁的的剪力图和弯矩图. 解：求梁的支反力
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
（1）AD杆的最大切应力 D a
Me C a
2Me B 2a 3Me
3Me A
max
Tmax 69.7MPa Wt
（2）扭转角 CA 2Me
CA BA CB
3 M e 2a M e a 180 ( ) 2.33 GI p GI p π
Me
+
F
FRA
A
1
D
2
FRB
B
a
b
l
代入方程可解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
（a）（0 x a）
（1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA 解：画扭矩图 Me D a C a 2Me B 2a 3Me Me +
3Me
A
Tmax= 3Me 计算外力偶矩Me
DB= CB+ DC=1°
M ea 2 M ea 180 ( ) 1 GI p GI p π
2Me
M e 292kN m
由（1）,（3）两式可知，AC、 CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x
F
FRB
B b x
C a x l
轴的直线.
Fb M ( x) x ( 0 x a ) ( 2) l Fa M ( x) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l
由（2），（4）式可知，AC、 CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1 A
F1
FRD
FN3 FN2
F2
F1
FN 3 FRD 0 FN 3 50kN ( )
F1 F2 FN 2 0 FN 2 15kN ( )
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1 A
F1
20
+
50
15
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN （-）
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
D点的连续条件
w2 在 x = a 处 w1 w1 w2
边界条件 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w 2 0
此梁的剪力图和弯矩图.
解： （1） 求支反力
A
q
B
x
FRA FRB
ql 2
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
A
B
x
面上的弯矩值为最大
FRA
ql/2
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上 剪力绝对值为最大
+
l/2
ql 8
2
FS max
ql 2
例题7 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力 F FRB
B b l
FRA
Fb l
FRB
Fa l
A a
C
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方 程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
将坐标原点取在梁的左端 AC段
FRA
A
F
FRB
B b
Fb FS ( x ) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
Ⅲ Ⅱ Ⅰ
F3
D Ⅲ l3 C l2 Ⅱ B
F2
Ⅰ l1 A
F1
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
F3
D
Ⅲ l3
F2
Ⅱ
l2
F1
Ⅰ
A
B
l1
解：求支座反力 FRD = -50kN （1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III 截面的轴力并作轴力图
FN1
F1
F1 FN1 0 FN1 20kN ( )
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
AB段
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa
发生在AB段.
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
FRD
C
F3
D Ⅲ l3 Ⅱ l2 B
F2
Ⅰ l1
F1
A
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
ΔlCD
FN1l1 FN 2 l2 -4 -4 2.53 10 m Δl BC 1.42 10 m EA1 EA2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l )
q
B
x
x 0， M 0 x l, M 0
A
FRA
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2