高二同步之每日一题【X2304】
二项式定理【1】
X2-3041.在5)21(x +的展开式中,2
x 项的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得 51551(2)2r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=.
令2r =可得222235240T C x x ==.
故2x 项的系数为40.
X2-3042.在12)13(x
x -展开式中,3-x 的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得
11212122
11212(3)
(3(1)r r r r r r r r r T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123
(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅. 令31232
r -=-可得10r =, 即121010103311123
(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=. 故3-x 项的系数为594.
X2-3043.若n x x x )1
(3+的展开式的常数项为84,则n = .
解:由二项式定理的通项公式得
33332
1()
r r n r r r n r r n n T C x C x x ---+=⋅⋅=⋅⋅ 932n r r n C x
-=⋅. 令9302
n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k k n k k C C C ===,解得3k =.
故39n k ==.
X2-3044.在10)31(x
x -
的二项展开式中含x 的正整数指数幂的项的系 数为 . 解:由二项式定理的通项公式得
15
1021101011()()33
r r
r r r r r
r T C C x x x ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ 352101()3
r r r C x -=-⋅⋅. 由352
r -为正整数可得0r =,或2r =. 当0r =时,
350005
21101()3
T C x x -⨯=-⋅⋅=. 当2r =时,
352222
23101()53
T C x x -⨯=-⋅⋅=. 故所求项的系数为1,或5.
X2-3045.在84)1(x
x +
展开式中,含x 的整数次幂的所有项的系数之 和为 .
解:由二项式定理的通项公式得 114
824
188r r r r r r r T C C x x ---+=⋅⋅=⋅⋅ 3448r r C x
-=⋅. 由352
r -为整数可得0r =,或4r =,或8r =. 当0r =时, 34004418T C x
x -⨯=⋅=.
当4r =时, 344445870T C x
x -⨯=⋅=.
当8r =时,
3488
2458T C x x -⨯-=⋅=.
故所求项的系数之和为170172++=.
X2-3046.若n x
x )13(-的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为 .
解:由各项系数之和为64,故令1x =可得(31)64n
-=6n ⇒=.
由二项式定理的通项公式得 113
6622
166(3(1)r r r
r r r r r r T C C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 6363(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅.
令30r -=可得3r =.
故展开式的常数项为63330463(1)540T C x -=⋅-⋅⋅=-.
X2-3047.若在n x x )1
3(32-的展开式中各项系数之和为128,则展开式 中31x
的系数为 . 解:由各项系数之和为128,故令1x =可得(31)128n -=7n ⇒=.
由二项式定理的通项公式得
27773
177(3)
(3(1)r r r r r r r r r T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 577373
(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅. 令5733
r -=-可得6r =. 故有766633773(1)21T C x x ---=⋅-⋅⋅=, 即展开式中
3
1x 的系数为21.。