高三数学第一轮复习讲义（71）
二项式定理（1）
一．复习目标：
1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．
2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．
二．知识要点：
1．二项式定理： ．
2．二项展开式的性质：
（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．
（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则 的二项式系数最大．
（3）所有二项式系数的和等于 ．
（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．
三．课前预习：
1．设二项式n x
x )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若2=+S P ，则
=n
（ A ）
()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且
50<≤q ），则q 的值为
（ A ）
()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关
3．在62)12(x x -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．
5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168．
6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5
101+． 四．例题分析：
例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．
解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，
设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 10191998191993
2323232， 所以⎩⎨⎧≥--≥+r
r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ，
故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．
例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程
0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．
解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ，
由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n
已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即
20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，
∴012lg lg 2lg lg 2=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴10
1=
x 或5=x ． 经检验知，它们都符合题意。

例3．证明98322--+n n 能被64整除(+∈N n )．
证明：
)
88(88889
8188898)18(989983112111221111111111122-+-+--+++++++++++⋅+=⋅++⋅+=--+⋅++⋅+=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C n C C n n n ∵11211188-+-+-++⋅+n n n n n C C 是整数，∴983
22--+n n 能被64整除．
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的
值为 （ A ）
()A 1 ()B -1 ()C 0 ()D 2
2．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有
（ B ）
()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项
3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答)
4．9)2
(x x a -的展开式中，3x 的系数为49，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．
解：
∵)
(7)1250(88720001)200020002000(2000
1
2000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-⋅+-⋅+⋅-⋅=-= 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．
6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项． 解：(1)设第1+r 项系数最大，则有
⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++117711772222r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥-⋅-+⋅≥-)!
8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即⎩⎨⎧≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴3
16313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ． 所以系数最大项为5555766722x x C T =⋅⋅=
(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为
444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，
所以系数最大的项是第五项为444475560)2(x x C T =-=．
7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f n m ，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值．
解：由题意知1111=+n m C C ，即11=+n m ，
又展开式中含2x 项的系数4
49)211(5511)]1()1([212222+-=+-=-+-=+=n n n n n m m C C n m ， ∴当5=n 或6=n 时，含2x 项的系数最小，最小值为25．
此时6,5==m n ；或6,5==n m ．
8．设n x
x )32(-展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求2
x 项的系数．
解：第1+r 项2321)3(2)3()2(r
n r r n r n r r n r n r x C x
x C T ---+-⋅⋅=-⋅⋅=， ∴454)
3(2)3(233311=-⋅⋅-⋅⋅--n n n n C C ，即454)2)(1(964=--⋅⋅n n n n ，∴02832=--n n ， ∴7=n 或4-=n （舍负）． 令2232=-r n ，即2
3227r =-，∴1=r ． ∴2x 项的系数1344)3(21717-=-⋅⋅-C ．
9．求6998.0的近似值，使误差小于001.0．
解：988.0)002.0(61)002.0()002.0(15)002.0(61)002.01(998.06266=-⋅+≈-++-⋅+-⋅+=-=。