函数定义域的类型和求法
本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。
现举例说明。
—、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
Jx2 - 2x- 15
y = ------------
例1求函数由十3| -2的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
X2- 2X-15 > 0 ①
Jx + 3|-8 ^0 ②
由①解得XT或心。
③
由②解得"5或x^-11④
®和，④求交集得x 且x尹-11或x>5。
故所求函数的定义域为^l^^-3Kx#-ll}Y(x|x>5)o
y = Jsin ■ + [
例2求函数、/1°一亍的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
sin x > 0 CD
16 -x2 > 0 ②
J
由1 解得keZ @
由②解得-4 *4④
由®和④，求公共部分，得
-4 " £-诚。
< x 5
故函数的定义域为（一4,-兀］Y（。
，对
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知④的定义域，求机&（对］的定义域。
其解法是：已知迨）的定义域是［a, b］求理（对］的定义域是解&奖⑴割，即为所求的定义域。
例3已知"对的定义域为［-2, 2］,求f （妒T）的定义域。
解：令-2 <^2-1<2,得-1金七3,即0和七3,因此0纣幻工名，从而
->/3<x<^（故函数的定义域是仅|-点血《构。
(2)已知£旗(对］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知盹(对］的定义域是［a, b］,求f(x)定义域的方法是：由此义芽，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x + D的定义域为［1, 2］,求f(x)的定义域。
解：因为心K 2,2X2X433 + 1"
即函数f(x)的定义域是｛N|3&<5｝。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数V ="-血+ m + 8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R,表明iw/Ymx + Z + m乏0,使—切X ER都成立，由妒项的
系数是m,所以应分m二。
或m*°进行讨论。
解：当m=O时，函数的定义域为R ；
当m^O时，n^2-6n^ + m+8>0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是
Pm > 0
= (-6m)2一4m(m+ 8) < 0
综上可知OKmG。
评注：不少学生容易忽略m=O的情况，希望通过此例解决问题。
仲)=尸7
例6已知函数总2+4& + 3的定义域是R,求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须屁七4&+3=。
恒成立，因为心)的定义域为R,
即fe2+4kE + 3 = 0无实数
. 3
□0 < k < —
①当k关0时，A=16k2-4x3k<0恒成立，解得 4 ；
②当k=0时，方程左边二3尹。
恒成立。
3
0 <k <-
综上k的取值范围是4。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
—(a- 2x)
解：设矩形一边为X,则另一边长为2 于是可得矩形面积。
y = X ■ y _= —ax - z
=-妒十上级
2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
z > 0 n
x > 0
* 1 习《
— (a- 2x) > 0 -2H > 0
a
=> 0 < z < -
2 o
2 1 a.
y = —墓+ — ax —
故所求函数的解析式为 2 ,定义域为(0, 2) o
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长
为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
C
B
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图。
八AD = L-忐- = L- 2-- 宓
因为CD=AB=2x,所以CD=JTX,所以 2 2
c L- 2x - 7CZ 宓y = 2x 故
=-(2 4- + Lz
根据实际问题的意义知
> 0 L
，L- 2x-脉° 习° <我 <----------------- r
--------- > 0 兀+2
L 2
y = _(2十—)x2十Lx -上
故函数的解析式为2,定义域(0, ”+2)。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知"劫的定义域为［0, 1］,求函数F&)=£&+a) + f(》-a)的定义域。
解：因为f(对的定义域为［0, 1］,即°女《1。
故函数F.的定义域为下列不等式组的解集：
0 < x + a < 1 ［- a < x < 1 - a
4
0 < z - a < 1 gp ［a < x < 1 + a
即两个区间1-a］与［a, 1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
(1)当时"(x)的定义域为(H|-a<x<i+a)；
(2)当°-a-2 时，F(X)的定义域为｛xla — El-a｝；
1 _ 1
(3)当' >3或时，上述两区间的交集为空集，此时F (x)不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解.事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10求函数yTo"(-x、2x + 3)的单调区间。
解：由-定+ 2z+3>0，即卧一2以-3罚，解得"I <X <3o即函数y的定义域为(~1. 3) o
函数y = log2(-x、2x + 3)是由函数y = log?t, t =-妒+ 2x+3复合而成的。
t = -x2 + 2x+3=-(x-l)2 + 4i对称轴X』由二次函数的单调性，可知t在区间(-8,1］上是增函数；在区间［1，+知上是减函数而y = l«g2t在其定义域上单调增；
(-1,3) I (-8,1] = (-1,1],(T,3) I [L + 8)= [1,3)所以函数y = log2(-x2十2芯十3)在区间
(-1,1]上是增函数，在区间”3)上是减函数。