专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用一、选择题1．若f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)＝()A．12B．－12C．－32D．32答案C解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32．故选C．2．点P从(2，0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动4π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A．(－1，3) B．(－3，－1)C．(－1，－3) D．(－3，1)答案A解析4π3弧长所对的圆心角为α＝4π32＝2π3，设点Q的坐标为(x，y)，∴x＝2cos 2π3＝－1，y＝2sin2π3＝3．故选A．3．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12；p2：∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；p3：∀x∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2．其中是假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4答案A解析p1是假命题，∵∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos2x2＝sin2x＝|sin x|＝sin x；p4是假命题，x＝π2，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠π2．故选A．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－3)，q ＝(cos B，sin B)，p∥q且b cos C＋c cos B＝2a sin A，则C＝()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析∵p∥q，∴－3cos B＝sin B，即得tan B＝－3，∴B＝120°，∵b cos C＋c cos B＝2a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，sin A≠0得sin A＝12，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝30°．故选A．5．(2018·福州五校联考二)已知a＝2－13，b＝(2log23)－12，c＝cos50°cos10°＋cos140°·sin170°，则实数a，b，c的大小关系是() A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a答案C解析因为a＝2－13＝1213＝1416，b＝(2log23)－12＝3－12＝1312＝12716，所以a>b，排除B，D；c＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝1412，所以b>c，所以a>b>c．选C．6．(2018·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sinθ＋π2－cosθ＋π3＝()A ．4＋3310B ．4－3310C ．－4＋3310 D ．－4－3310答案 A解析 设直角三角形中较小的直角边长为a ，则a 2＋(a ＋2)2＝102，解得a ＝6，所以sin θ＝610＝35，cos θ＝810＝45，sin θ＋π2－cos θ＋π3＝cos θ－12cos θ＋32sin θ＝12cos θ＋32sin θ＝12×45＋32×35＝4＋3310．故选A ．7．(2018·河南十所名校测试)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋π3的两个极值点为α，β，且|α－β|min ＝π2，则函数f (x )在0，π2上的最大值为( )A ．－ 3B ．1C ． 3D ．2 答案 D解析 由题意得f (x )的最小正周期为T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin2x ＋π3，因为x ∈0，π2，所以2x ＋π3∈π3，4π3，所以f (x )的最大值为2．故选D ．8．(2018·江西吉安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧πcos x ，x <0，f (x －π)，x ≥0，则函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的一个单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4答案 A解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π·cos －π3＝π2，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin2x －π2＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π，求得k π≤x ≤k π＋π2，可得g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，可得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．故选A ．9．(2018·山东济南二模)如图，半径为1的圆O 中， A ，B 为直径的两个端点，点P 在圆上运动，设∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，2π]上的图象大致为( )答案 A解析 由余弦定理，当0≤x ≤π时，PB ＝1＋1－2cos x ＝2(1－cos x )＝2×2sin 2x2＝2sin x 2，P A ＝1＋1－2cos (π－x )＝2(1＋cos x )＝2cos x 2， ∴PB ＋P A ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin x 2＋π4， 当π≤x ≤2π时，PB ＝1＋1－2cos (2π－x ) ＝2(1－cos x )＝2sin x2，P A ＝1＋1－2cos (x －π)＝2(1＋cos x)＝－2cos x2，∴PB＋P A＝2sinx2－2cosx2＝22sinx2－π4．故选A．10．(2018·南昌一模)函数f(x)＝(e x＋e－x)sin xe2(－π≤x≤π)的图象大致为()答案A解析由f(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)e2＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B；由于e x＋e－x＞0，0≤x≤π时，sin x≥0，所以f(x)≥0，排除D；考查函数g(x)＝e x＋e－x，则g′(x)＝e x－e－x＝e2x－1e x，当x＞0时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g π4＜gπ2，且y＝sin x在0，π2上单调递增，所以f π4＜fπ2，排除C．故选A．11．(2019·湖南十校联考)已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，yx＋1的取值范围是()A．14，34B．14，1C．[1，32－3]D．13，＋∞答案A解析函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)为奇函数，又f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在实数范围内单调递增，则f(x2－4x＋1)≤f(－y2＋2y－3)，即(x－2)2＋(y－1)2≤1，当y≥1时表示的区域为半圆及其内部，令k＝yx＋1＝yx－(－1)，其几何意义为过点(－1，0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3，1)，此时k min＝13－(－1)＝14，斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d ＝|2k －1＋k |k 2＋1＝1(k >0)，解得k max ＝34．故选A ． 12．(2018·邯郸摸底)若函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧sin2x －π6，－π≤x ＜m ，cos2x －π6，m ≤x ≤π2恰有4个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．－11π12，－π6∪π12，π3B ．－11π12，－2π3∪－5π12，－π6∪π12，π3C ．－11π12，－π6∪π12，π3D ．－11π12，－2π3∪－5π12，－π6∪π12，π3 答案 B解析 令g (x )＝sin2x －π6，h (x )＝cos2x －π6，在同一坐标系中作出g (x )，h (x )在－π，π2上的图象，如图所示．g (x )在－π，π2上的零点为－11π12，－5π12，π12； h (x )在－π，π2上的零点为－2π3，－π6，π3．由题f (x )在－π，π2上恰有4个零点，结合图象可知，当m ∈－11π12，－2π3∪－5π12，－π6∪π12，π3时，满足题意．故选B ．二、填空题13．(2019·湖南衡阳模拟)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为45，－35，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则3cos2α2－sinα2cosα2－32的值为________．答案3 5解析由452＋－352＝1及点B在圆O上，知圆O为单位圆，所以△OCB为正三角形，所以∠BOC＝π3，∠AOB＝π3－α，由三角函数定义知sinπ3－α＝35，所以3cos2α2－sinα2cosα2－32＝32cosα－12sinα＝sinπ3－α＝35．14．(2018·南昌二模)如图，有一块半径为20 m，圆心角∠AOB＝2π3的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC＝∠BOD)，某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是50元/m2、30元/m2、40元/m2．为使预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于________．答案1 2解析由题知半径r＝20，设∠COD＝α，则日总效益为f(α)＝12r2sinα×50＋α2π×πr 2－12r 2sin α×30＋2π3－α2π×πr 2×40＝4000sin α－2000α＋160003π，而f ′(α)＝4000cos α－2000，令f ′(α)＝0，可得cos α＝12，易知此时日总效益f (α)取得最大值．15．(2018·河北唐山摸底)△ABC 的垂心H 在其内部，∠A ＝60°，AH ＝1，则BH ＋CH 的取值范围是________．答案 (3，2]解析 因为△ABC 为锐角三角形，设∠BAH ＝θ，且θ∈(0°，60°)，所以BH ＝2AH ·sin θ＝2sin θ，CH ＝2AH ·sin(60°－θ)＝2sin(60°－θ)，所以BH ＋CH ＝2sin θ＋2sin(60°－θ)＝2sin θ＋32cos θ－12sin θ＝2sin(θ＋60°)，又由θ∈(0°，60°)，则θ＋60°∈(60°，120°)，所以2sin(θ＋60°)∈(3，2]，即BH ＋CH 的取值范围是(3，2]．16．(2018·河南一模)如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区——区域Ⅰ和区域Ⅱ，点C 在AB 上，∠COA ＝θ，CD ∥OA ，其中AC ，半径OC 及线段CD 需要用渔网制成．若∠AOB ＝π3，OA ＝1，则所需渔网的最大长度为________．答案 π＋6＋236解析 由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠COA ＝θ可得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ，在△OCD 中利用正弦定理可得CD ＝23sin π3－θ，θ∈0，π3，设渔网的长度为f (θ)，则f (θ)＝θ＋1＋23sin π3－θ， ∴f ′(θ)＝1－23cos π3－θ，∵θ∈0，π3，则π3－θ∈0，π3，令f ′(θ)＝0，则cos π3－θ＝32，π3－θ＝π6，θ＝π6．则f (θ)∈2，π＋6＋236，故所需渔网的最大长度为π＋6＋236． 三、解答题17．(2018·河北石家庄质检一)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac ．(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求△ABC 的面积． 解 (1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac ．∴a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B＝58．(2)∵b ＝13，cos B ＝58，∴b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，由正弦定理，得a ＋c ＝2b ＝213，∴13＝52－134ac ，∴ac ＝12．由cos B ＝58，得sin B ＝398，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×12×398＝3394．18．(2018·湖北八市联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是5π12，11π12．将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)设△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为x ，若关于x 的方程g (x )＝k 有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω， 且T 2＝11π12－5π12＝π2，则T ＝π，∴ω＝2， 又sin2×5π12＋φ＝1，|φ|<π2，∴φ＝－π3． ∴f (x )＝sin2x －π3，∴g (x )＝sin4x ＋π6．(2)∵cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12(当且仅当a ＝c 时，取等号)，∴0<x ≤π3， ∴π6<4x ＋π6≤3π2，则由图象可得12<k <1．19．(2018·安徽六校联考二)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足1＋tan A tan B ＝2c b ．(1)求A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2cos B cos C 的值域． 解 (1)由1＋tan A tan B ＝2cb ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2c b ＝2sin C sin B ，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以cos A ＝12，所以A ＝π3．(2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，则y ＝2sin 2B －2cos B cos C ＝1－cos2B －2cos B cos 2π3－B ＝32－sin2B ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，所以π6<B <π2， 所以π2<2B ＋π6<7π6，所以sin2B ＋π6∈－12，1，所以所求函数的值域为12，2．20．(2018·云南师大附中月考)在公比为2的等比数列{a n }中，a 2与a 5的等差中项是93．(1)求a 1的值；(2)若函数y ＝|a 1|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，|φ|<π的一部分图象如图所示，M (－1，|a 1|)，N (3，－|a 1|)为图象上的两点，设∠MPN ＝β，其中点P 与原点O 重合，0<β<π，求tan(φ－β)的值．解 (1)由题可知a 2＋a 5＝183，又a 5＝8a 2，故a 2＝23，∴a 1＝3．(2)∵点M (－1，|a 1|)在函数y ＝|a 1|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的图象上，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1． 又∵|φ|<π，∴φ＝3π4．如图，连接MN ，在△MPN 中，由余弦定理，得cos β＝|PM |2＋|PN |2－|MN |22|PM ||PN |＝4＋12－2883＝－32．又∵0<β<π，∴β＝5π6，∴φ－β＝－π12， ∴tan(φ－β)＝－tan π12＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2＋3． 21．(2018·河南洛阳统考)如图，在平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°．(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长；(2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．解 (1)依题有∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由正弦定理知10sin45°＝CB sin60°，从而CB ＝56．因为AC ∥BD ，故∠CAD ＝∠ADB ，∠ACB ＝∠CBD ．在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10．在△BCD中，CD＝CB2＋DB2－2CB·DB cos45°＝510－43．(2)在△ABC中，易知AC＋AB>BC＝10，由余弦定理知cos60°＝AB2＋AC2－1002AB·AC，整理知(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，由基本不等式知AB·AC≤AB＋AC22．(AB＋AC)2－1003≤AB＋AC22，解得AB＋AC≤20．故AB＋AC的取值范围为(10，20]．。