[ 2 2 V (r)] (r) E (r)
2m
2
2
(

2
2 ) (x, y, z) E (x, y, z)
2m x 2 y 2 z 2
2 2
(
2

2 ) ( x, y, z) E ( x, y, z)
2m x 2 y 2 z 2
§3.2 金属中的自由电子模型
一般情况下金属内部的自由电 子为什么不会逸出体外 ？
金属内部电子的能量比在金属 外部电子的能量要低一些，要 使金属内部的自由电子逸出体
外，必须对它作一定的功
三维无限深势阱 模型
0 V (x, y, z)
当 0 x, y, z L 当 x, y, z 0, 或 x, y, z L
E

2 2
2mL2
(n
2 x

n
2 y

n
2 z
)
能级密度
金属自由电子的能级密度为
dz 4V ( 2m )3/ 2 E
dE
h2
2 y 2

2 z 2
)
(x,
y, z)

E ( x方, y程, z的) 解
(x, y, z) Asin kx x sin k y y sin kz z
E

2 2
2mL2
(n
2 x

n
2 y

n
2 z
)
结论
• 上面的结果说明，晶体中自由电子 的本征态波函数和能量都由一组量 子和可n数 值z都(是n是x分,n取立y,n正的z)整，来数形确，成定因能。此级由能。于量当nx的、晶许n体y 的线度L很大时，能级成为准连续 的。
(
y)

0
u2 ( y) A2 sin k y y
d
2u3 (z) dz 2

k
2 z
u3
(z)

0
u3 (z) A3 sin kz z
其中A1、A2、A3是归一化常数
波失分量的解
kx

nx
L
ky

ny
L
式中nx、ny、nz是任意的正整数。
kz

nz
L
2 2 2m ( x 2
• 上式可用分离变量法求解，令
(x, y, z) u1 (x)u2 ( y)u3 (z)
再令
E 2k 2 2m

2 2m
(k
2 x

k
2 y

k
2 z
)
d
2u1 ( x) dx 2

k
2 x
u1
(
x)

0
u1 (x) A1 sin k x x
d
2 u2 dy
(
2
y)Leabharlann k2 yu2