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排列组合例题教学分析
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例1和例5是公式的简单计算，教材要求用计 算器进行. 例2和例6分别是判断是否有顺序. 例3和例7重点是让学生从叙述的过程中体会 两者的差别，并判断哪些是排列，哪是组合，加 深学生的理解. 例4是带有限制条件的排列问题，是排列和两 个计数原理的综合应用.课本上分别用三种解法去 解，让学生体会从不同角度去考虑列式不同，但 结果相同，从而加深理解，在教学时注意让学生 说出每种解法的依据，并比较其优劣. 例8中重点是组合和两个计数原理的综合应用.
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1.3 二项式定理（3课时）
重点： 1.用两个计数原理分析(a+b)2的展开式，归纳得 出二项式定理，并能用计数原理证明; 能应用它解决简 单问题. 2.学会讨论二项式系数性质的一些方法. 难点： 用两个计数原理分析(a+b)2的展开式;用两个计数 原理证明二项式定理
教科书中用两个计数原理非常详细地分析(a+b)2的 展开式，学生模仿分析写出(a+b)3、(a+b)4的展开式， 归纳推理出(a+b)n 的展开式，并给出证明.
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注意借助几何直观理解 抽象的二项式系数的性质
例5-例9背景丰富、信息量大、综合性强，让学生在 复杂的背景下分清楚“一件事情”是什么、何时分类、何 时分步.最后让学生自己总结用两个计数原理解决问题的 一般思路.
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两个计数原理教学建议
1、注意使用“树形图”分析问题 2．正确理解“完成一件事”在不同背景下的含义 如 从甲地到乙地；从甲地经过丙地到乙地. 从中任取一本书；从中任取语文、数学各一本书. 3．明确两个计数原理的区别 分类：类类互斥 、不重不漏 分步：步步相依、步骤完整 4. 分类或分步都要注意按照统一的标准进行. 5. 建议教学时多让学生练习说清楚“完成一件事”是什么、 分类还是分步，第一类（步）是什么，第二类（步）是什 么，„„，这样可以让学生在做题中深刻体会两个计数原 理，即便遇到复杂的问题也能迎刃而解. 6. 对两个计数原理建议利用对比法教学
排列组合教学分析
2、公式推导 排列公式的推导用到（1）分步乘法计数原理 和（2）树状图 组合公式的推导用到 （1）排列与组合的关系 和 （2）树状图 排列是先选后排 组合是只选不排
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例如 组合数公式的推导
以问题“从集合{a，b，c，d}中取出3个元素 组成三元子集，共有多少不同的子集？”为载体， 设置如下台阶： （1）借助树形图用列举法得出答案； （2）细致分析从a，b，c，d中取出3个元素的 排列与组合之间的关系； （3）以“等式的两边是对同一个问题作出的两 个等价解释”为指导，分析等式的实际意义，得 出“从4个不同元素中任取3个的排列的两个步 骤”； （4）推广到一般情形，得出组合数公式．
三、课标规定的本章内容与要求
1.本章教学要求 （1）．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原 理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步 乘法计数原理解决一些简单实际问题. (2)．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念； 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解 决简单的实际问题. (3)．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. ★与以往“教学大纲”基本一致，唯一不同的是“教学大 纲”要求“掌握组合数的两个性质，并能用它解决一些简单 的应用问题”，而这里没有这个内容和要求. 7
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（4）二项式定理的学习过程是应用两 个计数原理解决问题的典型过程，其基 本思路是“先猜后证”． （5）“学以致用”的思想始终贯穿本 章内容． 两个计数原理的直接应用,需要经过 一定量的应用性训练．
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四、具体教学分析
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数 原理，能应用它解决简单的实际问题. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义;根据实 际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”.
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排列组合教学分析
1、概念理解 排列、一个排列、不同排列、全排列、排列数 组合、一个组合、不同组合、组合数
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排列概念中的“一定顺序”
• 排队中“从前到后”、“从左到右”、“从上到下” 都是“一定顺序”； 例: “从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三 位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个”； 等等. • 若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或 元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列． “排列数”与“一个排列”、“组合数”与“一个组 合”. 例如，123，321，213，…都是“从1~9这九个 19 数字中选三个不同数字组成三位数的一个排列”，
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1.2 排列与组合
重点： 1.归纳、对比得出排列、组合概念; 2.根据两个计数原理推导出排列数、组合数公式; 3.应用排列与组合知识解决简单的实际问题. 难点： 1.建立组合与排列的联系，结合两个数原理推导排 列数、组合数公式; 2.根据实际问题的特征，正确地区分“排列”或 “组合” 排列与组合是两类特殊的计数原理，是典型的 两个计数原理的应用，排列组合在计数中的地位， 就如同等差等比数列在数列中的地位.
数学 选修2－3 第一章
计数原理 教材分析
北京宏志中学 石玉星
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教学分析提纲 一、本章地位与作用 二、本章的变化之处 三、本章内容与要求 四、具体的教学分析 五、教学的注意问题
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一、本章地位与作用
计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计 数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的 最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它 们为解决很多实际问题提供了思想和工具.以计数 问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快 且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步 知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论 的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特 性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材. 作为初中一种多项式乘法公式推广的二项式定理， 不仅使前面的计数原理等知识的学习得到强化，而 且与后面概率中的二项分布有着密切联系.
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对二项展开式要让学生认识到下面几点：
• （1）它有n+1项； • （2）各项的次数都等于二项式的次数n • （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0； 字母b按升幂排列，次数由0递增到n; • (4)二项展开式中，系数Cnk叫做（第k+1） 的二项式系数，与a、b无关，注意与展开 式中关于某一个字母系数的区别.
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二项式定理的 猜想与证明 过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题； （2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的 过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行 分析，概括出项数以及项的形式； （3）用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的 个数，从而得出用组合数表示的n =2展开式； （4）让学生模仿上述过程推导n =3，4的展开式； （5）得出关于二项式展开式的猜想，给出证明．
2.本章重点和难点 （1）重点：
两个计数原理，排列、组合的意义及排列 数、组合数计算公式，二项式定理． 两个计数原理是最基本而重要的． （2）难点： 正确运用两个计数原理以及排列、组合 概念分析和解决问题．
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3.本章课时安排
1．本章有三节内容，共14课时 具体分配如下（供参考）： 1．1 两个计数原理 1．2 排列与组合 1．3 二项式定理 小结
典型（学生熟悉的）实例 →“两类方案”或“两个步骤”的计数原理 →“n类方案”或“n个步骤”的计数原理 →单一例题 →综合例题 →归纳用两个计数原理解决问题的方法
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对“完成一件事情”的理解
“完成一件事情”是指“确定一个满足条件的排 列或组合” 例: “从1~9这九个数字中任取两个，一共可 组 成多少个没有重复数字的两位数？”
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对通项要注意以下几点:
Tk 1 C a
k n n k
b (k 0,1, 2,…，n)
k
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①它表示二项展开式中的任意项，只要n与k确 定，该项也随之确定. ②公式表示的是第k+1项，而不是第k项. ③公式中a、b是一种“符号”，它们可以是数、 式或其它. ④公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和 一定为n. 要注意区分，展开式的第k+1项的二项式系数与 第k+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混 在一起.
标准 理科学 文科不学 古典概率后
必修3概率
计数原理
选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的计算干扰学生对概率 思想的领悟 2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具 计数问题是数学中的重要研究对象之一，计数原理 为解决很多实际问题提供思想和工具(分类分步思想不 6 仅仅是解计数问题)
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研究排列、组合问题时，都是从不同元素中 任意取部分不同元素，这里既没有重复元素，也 没有重复抽取同一元素； 排列和顺序有关，组合和顺序无关，这是两 个概念的本质区别； 排列其实分两步进行的，即先取后排；而组 合是只取不排，这正是两者在操作过程中的区别. 在许多问题里可能既有排列，又有组合. 如“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项活 动，有多少种不同的选法”是组合问题； 而求“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项 活动，一人上午参加，一人下午参加，有多少种 不同的选法”的选法种数 则是排列问题. 教学中要注意引导学生在解例题、习题时细 心观察分析是否与顺序有关，养成好习惯. 20
分析:学生常把“完成一件事情”与“计算完成这件 事情的方法总数”混淆．把要完成的事情理解成为“求 满足条件的两位数的个数”．
教学建议:解题先抓 “完成的一件事情是什么”
什么叫“完成一件事情” 用什么方法完成