§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式;熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法通过用定义法求函数f(x)=x+x 2的导数,观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法,给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=ｘ2ｇ（ｘ）的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论,培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

二、教学重点:函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即x y∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =,即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ))(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x )处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数（导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ， 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1)求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆(2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ (3)取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式:0'=C ；1)'(-=n n nx x(二）、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和（差),即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明:令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([,∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例１：求下列函数的导数：（1)xx y 22+=； （2）x x y ln -=; （３）)1)(1(2-+=x x y ；（４)221x xxy +-=。

解：（１）2ln 22)2()()2(22xxxx x x y +='+'='+='。

(2)xxx x x x y 121)(ln )()ln (-='-'='-='。

(３)[]123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='-+='x x x x x x x x x x y 。

()x xx x x x x x x x x x x x x x x x y 21222)()()(111)4(23232122122222++-=++-='+'-'='+-='⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------例２：求曲线xx y 13-=上点（1,0）处的切线方程。

解：()22331311x x x x x x y +='⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫⎝⎛-='。

将1=x 代入导函数得 41113=+⨯。

即曲线xx y 13-=上点(1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ,即44-=x y 。

设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f ',2)(x x g =。

我们来求)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。

[])()()()()()()()]()([)()()()(02020002002020002002020x f xx x x x x f x x f x x xx f x x x x f x x f x x xx f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆令0→∆x ,由于 20200)(lim x x x x =∆+→∆)()()(lim0000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆0202002)(lim x xx x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。

因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。

一般地,若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g ',我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=' 特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='例3:求下列函数的导数:（１)xe x y 2=; （2)x x y sin =； （3)x x y ln =。

解：（1)xxxxxxe x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；(２）x x xx x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+='+'='=';（3)1ln 1ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x xx x x x x x x x y 。

例4：求下列函数的导数:(1）xxy sin =； (2)x x y ln 2=。

解:(1)222sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='; （2）xx x xx x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅-⋅='⋅-⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='(三)、练习:课本44P 练习:1、2. 课本46P 练习１.(四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式;2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2()()()()()[()()]()()()()()()f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-'''=+=⎢⎥⎣⎦（五)、作业：课本47P 习题2－4:A 组2、3 B 组2五、教后反思:本节课成功之点:（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （ｘ)=x ＋x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2） 由定义法求ｆ(x)=x ２ｇ（ｘ)的导数，发现函数乘积的导数,归纳出两个函数积、商的求导发则。

（3）通过上述的教学过程,让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论,培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

不足之处:学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用,这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。