2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式21xx -＜0的解为______．2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.3．设m ∈R ，m2＋m －2＋(m2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______.4．已知21 1x ＝0， 1 1x y＝1，则y ＝______.5．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a2＋ab ＋b2－c2＝0，则角C 的大小是______． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．7．设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 8．方程9131x+-＝3x 的实数解为______． 9．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝______.10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr ＝______.11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．13．设常数a ＞0.若9x ＋2a x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为______．14．已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则(a i ＋a j )²(c k ＋c l )的最小值是______．二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．函数f (x )＝x 2－1(x ≥0)的反函数为f －1(x )，则f －1(2)的值是( )AB． C． D．116．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件18．记椭圆22441x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则lim n n M →∞＝( )A ．0B ．14 ` C ．2 D．三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，正三棱锥O －ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x +-元； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0. (1)令ω＝1，判断函数F (x )＝f (x )＋()2f x π+的奇偶性，并说明理由；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．对任意a ∈R ，求y ＝g (x )在区间[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值．22．已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)，n N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．23．如图，已知双曲线C1：22x－y2＝1，曲线C2：|y|＝|x|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝12内的点都不是“C1－C2型点”．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．答案：0＜x ＜12 x (2x －1)＜0⇒x ∈(0，12)．2．答案：15 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝30⇒a 2＋a 3＝15.3．答案：－2 m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数⇒222010m m m ⎧+-=⎪⎨-≠⎪⎩⇒m ＝－2.4．答案：1 已知 21 1x ＝x －2＝0⇒x ＝2，又 1 1x y＝x －y ＝1 联立上式，解得x ＝2，y ＝1.5．答案：23π a 2＋ab ＋b 2－c 2＝0⇒cos C ＝22212223a b c C ab π+--=⇒=. 6．答案：78 平均成绩＝40607580100100⋅+⋅＝78. 7．答案：－2 25()a x x +⇒255C ()()r y ra x x -＝－10x 7⇒r ＝1，15C a ＝－10⇒5a ＝－10，a ＝－28．答案：log 34 931x -＋1＝3x ⇒931x -＝3x －1⇒3x －1＝±3⇒3x ＝±3＋1＞0⇒3x＝4⇒x ＝log 34.9．答案：79- cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13⇒cos2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝79-.10由题知，tan 63r l π==⇒l r =11．答案：57 考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有27C ＝21个，2个数之积为奇数⇒2个数分别为奇数，共有24C ＝6个．所以2个数之积为偶数的概率P ＝1－2427C C ＝1－65217=. 12．如下图所示．设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BCCBA ＝45°⇒CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3⇒C (1,1)⇒2a ＝4，把C (1,1)代入椭圆标准方程得2211a b +＝1，a 2＝b 2＋c 2⇒b 2＝43，c 2＝83⇒2c13．答案：[15，＋∞) 考查均值不等式的应用．由题知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x≥＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15.14．答案：－5 根据对称性，当向量(a i ＋a j )与(c k ＋c l )互为相反向量，且它们的模最大时，(a i ＋a j )(c k＋c l )最小。

这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，(a i ＋a j )(c k ＋c l )＝－|a i ＋a j |2＝－5.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15答案：A 由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x2－1⇒xA.16．答案：B 方法一：代值排除法。

当a＝1时，A＝R，符合题意；当a＝2时，∵B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A∪B＝R，符合题意．综上，选B.方法二：∵B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，∴A⊇(－∞，a－1)．由(x－1)(x－a)≥0⇒当a＝1时，x∈R，当a＝1时符合题意；当a＞1时x∈(－∞，1]∪[a，＋∞)，⇒1≥a－1，解得1＜a≤2；当a＜1时x∈(－∞，a]∪[1，＋∞)⇒a≥a－1⇒a＜1.综上，a≤2，选B. 17．答案：A 便宜没好货⇔便宜则不是好货⇔好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件，选A.18．答案：D 椭圆方程为：2222221lim114414444nx ny x y x ynn→∞+=⇒+=+= ++，联立22144x yn x y⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒x2＋(u－x)2＝4⇒2x2－2ux＋u2－4＝0⇒Δ＝4u2－8(u2－4)≥0⇒u2－2(u2－4)≥0⇒8≤u2⇒u∈[-，，所以x＋y的最大值为 D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．解：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC所以该三棱锥的体积为1133=.设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.延长AO′交BC于D，得ADO D'.又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD故侧面积为12＝，表面积为20．解：(1)生产a千克该产品，所用的时间是ax小时，所获得的利润为3100(51)axx x+-⋅.所以，生产a千克该产品所获得的利润为213100(5)ax x+-元．(2)生产900千克该产品，获得的利润为21390000(5)x x+-，1≤x≤10.记f (x )＝231x x-+＋5,1≤x ≤10， 则f (x )＝21113()5612x --++，当且仅当x ＝6时取到最大值． 获得最大利润90 000³6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元． 21．解：(1)f (x )＝2sin x ，F (x )＝f (x )＋()2f x π+＝2sin x ＋2sin ()2x π+＝2(sin x ＋cos x )．()4F π＝()4F π-＝0，()4F π-≠()4F π，()4F π-≠－()4F π-．所以，F (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f (x )＝2sin2x ， 将y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2()6x π+＋1的图像，所以g (x )＝2sin2()6x π+＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋512π或x ＝k π＋34π(k ∈Z )． 因为[a ，a ＋10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a ＋10π]上零点个数为21；当a 不是零点时，a ＋k π(k ∈Z )也都不是零点，区间[a ＋k π，a ＋(k ＋1)π]上恰有两个零点，故在[a ，a ＋10π]上有20个零点．综上，y ＝g (x )在[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.22．解：(1)a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|.①当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1)＝a 1，所以21a ＝(2－a 1)2，得a 1＝1.②当a 1＞2时，a 3＝2－(a 1－2)＝4－a 1，所以a 1(4－a 1)＝(2－a 1)2，得a 1＝2舍去)或a 1＝2+综合①②得a 1＝1或a 1＝2+(3)假设这样的等差数列存在，那么a 2＝2－|a 1|，a 3＝2－|2－|a 1||. 由2a 2＝a 1＋a 3得2－a 1＋|2－|a 1||＝2|a 1| (*)． 以下分情况讨论：①当a 1＞2时，由(*)得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；②当0＜a 1≤2时，由(*)得a 1＝1，从而a n ＝1(n ＝1,2，…)， 所以{a n }是一个等差数列；③当a 1≤0时，则公差d ＝a 2－a 1＝(a 1＋2)－a 1＝2＞0，因此存在m ≥2使得a m ＝a 1＋2(m －1)＞2.此时d ＝a m ＋1－a m ＝2－|a m |－a m ＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a 1＝1时，a 1，a 2，a 3，…构成等差数列． 23．解：(1)C 1的左焦点为(0)，写出的直线方程可以是以下形式：x ＝y ＝(k k ，其中|k (2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点，所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝||11||x x +>.若原点是“C 1－C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点． 考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k -＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点． 因此原点不是“C 1－C 2型点”． (3)记圆O ：x 2＋y 2＝12，取圆O 内的一点Q .设有经过Q 的直线l 与C 1、C 2都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y ＝kx ＋b .若|k |≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝－x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝－kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k |＞1.因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解， 得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0.因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0，即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1－C 2型点”．。