期 中 考 数 学 试 范 围 及 要 求
1.会运用比例的性质进行简单的比例变形; 2.会用相似三角形的判定方法判定两三角形相似; 3.“双垂直图形”的证明和相关计算; 4.相似三角形的性质; 5.运用相似三角形的判定和性质解决有关计算和证明问题; 6.会运用相似三角形的知识解决有关实际问题; 7.用待定系数法确定二次函数的解析式; 8.二次函数的图像及图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性、最值、函数值等性质; 9.二次函数的图像的平移; 10.把实际问题转化为二次函数问题来解决; 11.反比例函数的图像和性质; 12.相似形综合题; 13.函数综合题;
C M└ └
●
A
B O
只要具备其中两个条件, 只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. 就可推出其余三个结论.
D
你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 是直径 ⊥ , ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论 命 题
1 1 AD = AB = × 37.4 = 18.7, 2 2 OD = OC − DC = R − 7.2.
7.2
A
18.7
R
D
B
OA2 = AD 2 + OD 2 , 即R 2 = 18.7 2 + ( R − 7.2) 2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 △ 中 由勾股定理，
R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）. （ ） 赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥， 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已 1400年的历史 年的历史， 有1400年的历史，是今天世界上最古老 的石拱桥。上面修成平坦的桥面， 的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行 车走人.赵州桥的特点是“敞肩式” 车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是 石拱桥结构中最先进的一种。 石拱桥结构中最先进的一种。其设计者 是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美， 是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美， 远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。 远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤 其是栏板以及望栓上的浮雕。 其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示 整个大桥堪称一件精美的艺术珍品， 整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称 得上是隋唐时代石雕艺术的精品。 得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心, 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心, 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 并且平分弦所对的另一条弧.
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D
B
A
O
在下列图形中， 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
练习1 练习
的线段或相等的圆弧. 的线段或相等的圆弧
D A B E O E O A
.
D
B
C
平分已知弧AB 4.平B的中点 E A 作法： 作法： 联结AB. ⒈ 联结 ⒉作AB的垂直平分线 的垂直平分线 CD，交弧 于点 于点E. ，交弧AB于点 B
⌒ ⌒
点E就是所求弧AB的中点。 就是所求弧AB的中点。 AB的中点
D
你能破镜重
——过圆心作垂直于弦的线段； 过圆心作垂直于弦的线段； 过圆心作垂直于弦的线段 ——联结半径。 联结半径。 联结半径
练一练
挑战自我
1、判断： 、判断：
驶向胜利 的彼岸
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条 弧. （r ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另 一条弧. 一条弧 （√ ） ⑶经过弦的中点的直线一定垂直于弦.（ r ） 经过弦的中点的直线一定垂直于弦 （ ⑷平分弦的直径垂直弦. （ r ） 平分弦的直径垂直弦 ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
想一想： 想一想：
条件 CD为⊙O的直径 为 的直径 CD⊥AB ⊥ 对称性
结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
.O
A E D B
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 并且平分弦对的两条弧。
垂径定理三种语言 垂径定理三种语言
n A
圆吗 ？
m C B
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点； 作弦AB．AC及它们的垂直平分线m 作弦AB 及它们的垂直平分线 交于O 2.以O为圆心，OA为半径作圆。 以 为圆心，OA为半径作圆。 为半径作圆
你能破镜重
n A
圆吗 ？
m C B
·
O
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点； 作弦AB．AC及它们的垂直平分线m 作弦AB 及它们的垂直平分线 交于O 2.以O为圆心，OA为半径作圆。 以 为圆心，OA为半径作圆。 为半径作圆
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 半径为2cm的圆中， 的圆中 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
B
A
B
. O
A C
O E
.
D
B
方法归纳: 方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常联结半径； 解决有关弦的问题时，经常联结半径； 联结半径 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线 等辅助线， 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 勾股定理结合使用
B
. O
再逛赵州石拱桥
如图， 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为 ，半径为 ， 经过圆心O作弦 的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点 根 作弦AB的垂线 ， 为垂足 为垂足， 相交于点C.根 经过圆心 作弦 的垂线 据垂径定理， 是 的中点 的中点， 是 的中点， 就是拱高 就是拱高. 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高 37.4 C 由题设知 AB = 37.4, CD = 7.2,
A
问题：左图中 为圆 的直径， 为圆O的直径 问题：左图中AB为圆 的直径， CD为圆 的弦。相交于点 ，当 为圆O的弦 为圆 的弦。相交于点E， 弦CD在圆上运动的过程中有没 在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系？ 有特殊位置关系？
O C E B D
直径AB和弦 互相垂直 直径 和弦CD互相垂直 和弦
定理：垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 并且平分弦所的两条弧. 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
C
A
M└ └
●
B O
如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 CD⊥AB, 是直径 ⊥
⌒ ⌒ ∴AM=BM, AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
D
条件
CD为直径 为直径 CD⊥AB ⊥
做一做
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 的圆柱形油槽内装入一些油后， 在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示.若油面宽 若油面宽AB = 600mm，求油的 截面如图所示 若油面宽 ， 最大深度. 最大深度.
C
A
M└ └
●
B O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦, 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对 的另一条弧. ②③④ 的另一条弧.
2.在半径为5 AB=8㎜ 2.在半径为5㎜的⊙O中，弦AB=8㎜， 在半径为 3mm ∠OAB AB的距离 的距离= 则O到AB的距离= ， 0.8 的余弦值= 的余弦值= 。
A
P
O
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明：相等。理由： 证明：相等。理由： 过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， O ∴AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － A C E ∴AC＝BD ＝ 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦 的垂线，是一种常用的辅助线添法． 的垂线，是一种常用的辅助线添法．
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 多年前 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长) 37.4m,拱 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱 弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 7.2m,求桥拱 高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱 的半径(精确到0.1m). 的半径(精确到0.1m).