圆的对称性
主要内容：
1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

经过圆心的直线是对称轴。

圆心是它的对称中心。

2. 圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

如图，用几何语言表示如下：⊙O中，
（1）∵∠AOB＝∠A'OB'
（3）∵AB＝A'B'
5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图：几何语言
【典型例题】
例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：
例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA
＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，
利用勾股定理求解。

解：
第8题
例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

分析：略 解：
【模拟试题】一. 选择题。

1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（
）
A.
B. 1
C.
D.
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的
长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成
立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 圆只有一条对称轴
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于弦的直径平分这条弦
D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ）
A. AB ＞CD
B. AB ＝CD
C. AB ＜CD
D. 不能确定 二. 填空题。

6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。

7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为
厘米．
第5题
第11题
8. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。

9. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。

10. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，
则AB和CD的距离为___________。

11. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB
＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。

三. 解答题。

12. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求
出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。

13. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。

求证：
14. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O 作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。

15. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。

16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。

（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

17. （12上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【试题答案】
一. 选择题。

1. B
2. A 3 A 4. C 5. B
二. 填空题。

6. 4
7. 10
8. 75°9.
10. 2cm或14cm
11. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题。

12 解：过点O作OC⊥AB于C，则
又
∴∠OAB＝30°
13 证明：连结BC
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC＝AC
∴∠CAB＝∠CBA
又EA＝EC
∴∠CAB＝∠ECA
∴∠CBA＝∠ECA
∴△AEC∽△ACB
即
14. 解：略
15 解：连OA
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC于D
又∠BAC＝120°
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
设⊙O的半径为r，则
∴r＝6
16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
则G为CD的中点
又EC⊥CD，FD⊥CD
∴EC∥OG∥FD
∴O为EF的中点，即OE＝OF
又AB为⊙O的直径
∴OA＝OB
∴AE＝BF（等式性质）
（2）解：四边形CDFE面积是定值
证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变∴CE∥DF不变
∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
∴S＝OG·CD
连OC，由勾股定理有：
又CD＝9cm
是定值17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E是中点，
∴DE=AB=；
（3）如图（3），
∵BD=x，
∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，
∴y=DF•OE=（0＜x＜）．。