第二节圆的对称性
要点精讲
一、圆的对称性：
1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.
经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.
2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）
1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）
2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.
3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.
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像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
典型分析
1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）
A.1/2
B.1/4
C.1/6
D.1/8
【答案】B
【解析】连接AM 、BM.
∵MN ∥AD ∥
BC ，OM=ON ，
∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM
的面积.
再根据图形的轴对称性，得
阴影部分的面积=
扇形OAB 的面积=1/4圆面积
.
故选B.
中考案例
1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=
2.则BD 的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.
根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；
根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.
∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.
=
针对训练
1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）
A.（0，-2），（0，8）
B.（-2，0），（8，0）
C.（0，-8），（0，2）
D.（-8，0），（2，0）
2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）
A.2
B.4
C.6
D.8
3.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）
A.点A在圆外
B.点A在圆上
C.点A在圆内
D.不能确定
4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）
A.6＜r＜10
B.8＜r＜10
C.6＜r≤8
D.8＜r≤10
5.下列命题中，正确的是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.
A.①②③
B.③④⑤
C.①②⑤
D.②④⑤
6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.下列命题正确的是（）
A.顶点在圆周上的角叫做圆周角
B.圆内接平行四边形一定是矩形
C.平分弦的直径一定垂直于弦
D.与直径垂直的直线是圆的切线
8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A.AB中点
B.BC中点
C.AC中点
D.∠C的平分线与AB的交点
参考答案
1.【答案】B
【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.
故选B.
2.【答案】B
【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.
故选B.
3.【答案】C
【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C.
4.【答案】A
【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.
故选A.
5.【答案】B
【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.
故选B.
6.【答案】C
【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，
故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.
故选C.
7.【答案】B
【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.
故选B.
8.【答案】A
【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，
故选A.
扩展知识
轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。