5 4 2π ⃗ 证明：由于∰ V ∇ ∙ A ∙ dV = ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 (3ρ + 2) ∙ dρdφdz = 1200π，
4 2π 2 ⃗ ⃗ =∯ ⃗ ⃗⃗⃗z − ∯ ⃗ ⃗⃗⃗z + ∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∯ A ∙ dS A ∙ dS A ∙ dS A ∙ dS ∫ (ρ ρ ⃗ + 2zz ) ∙ ρ ⃗ ρdφdz| φ =∫ S S S S 0 0
−Φ ⃗ y
∂ ∂y
∂Aₓ ∂Φ + ∂x Ay ∂y
−
∂Φ Aₓ) z ∂y
∂ΦA = ( ∂y z −
∂ΦAy ∂z
)x ⃗ +
⃗ x (
∂ΦAₓ ∂z
z
∂ ∂z
−
∂ΦAz ∂x
)y ⃗ +(
∂ΦAy ∂x
−
∂ΦAₓ ∂y
)z = |
∂ ∂x
⃗ )=Φ∙ | = 左边，所以∇ × (ΦA
ΦAₓ ΦAy
ΦAz
(∇ × ⃗ A) + ∇ ∙ Φ × ⃗ A。 1-27 已知矢量⃗ A 、⃗ B分别为⃗ A = z²sinφρ ⃗ + z²cosφφ ⃗⃗ + 2zρsinφz 和⃗ B = (3y 2 − 2x)x ⃗ + x²y ⃗ + 2zz，求 (1)哪个矢量可以由一个标量的梯度表示； (2)哪个矢量可以由一个矢量的旋度表示； (3)它们的源分布。 ⃗ = 0，∇ × B ⃗ = 2(x − 3y)z，∇ ∙ A = 2ρsinφ，∇ ∙ B = 0。 解：∇ × A ⃗ 可以由一个标量的梯度表示； (1)A ⃗ 可以由一个矢量的旋度表示； (2)B ⃗ 有散场无旋场，B ⃗ 无散场由旋场。 (3)A 第二章 2-1 半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρ = r 2，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求 圆盘上的总电量。 解：Q = ∬ ρ ∙ dφdr = ∫ r 3 ∙ dr ∙ ∫ dφ = S 0 0
y
⃗ (ρ, φ, z) = ρρ 1-11 将圆柱坐标系中的矢量场A ⃗ + φφ ⃗⃗ , 别用直角坐标系和球坐标系表示。 解：x = ρcosφ，y = ρsinφ，r = √ρ² + z²，θ = zz ，A(r,θ, φ) = √ρ² + z²r +
arctanρ z arctanρ ⃗ z
A(x,y, z) = ρcosφx ⃗ + ρsinφy ⃗ +
⃗ + φφ θ ⃗⃗ 。
1-12 将球坐标系中的矢量场⃗ A(r,θ, φ) = rr, 别用直角坐标系和圆坐标系表示。 解： x = rsinθcosφ = 0，y = rsinθsinφ = 0，z = rcosθ = r，ρ = √x² + y² = 0，⃗ A(x,y, z) = rz，A(ρ, φ, z) = rz。 1-13 求标量场u(x,y, z) = x²y²z²的梯度及在点M(2,3,1)沿方向l = √50 x ⃗ + √50 y ⃗ + √50 z的方向 导数。 解：∇u| (2,3,1) = 36x ⃗ + 24y ⃗ + 72z，cosα =
⃗ = ∯ y²z ∙ dS ⃗ = a´π，因此∮ ⃗ ⃗ ，故斯托克斯定理成立。 ∯ ∇×⃗ A ∙ dS A ∙ dl = ∯ ∇×⃗ A ∙ dS S S l S
4
1-24 已知矢量场⃗ A(x,y, z) = yx ⃗ − xy ⃗ ，计算⃗ A ∙∇ ×⃗ A。 ⃗ = −2z，A ⃗ ∙ ∇×A ⃗ = 0。 解：∇ × A ⃗ (x,y, z) = yzx 1-25 证明矢量场A ⃗ + xzy ⃗ + xyz 既是无散场又是无旋场。 ⃗ = 0 ，∇ × A ⃗ = 0，所以A ⃗ (x,y, z)既是无散场又是无旋场。 证明：因为A ⃗ ) = Φ ∙ (∇ × ⃗ 1-26 证明∇ × (ΦA A) + ∇ ∙ Φ × ⃗ A。 ⃗ x 证明：因为 右边=Φ ∙
，A(ρ, φ, z) =
z
√x² + y² + z²ρ ⃗ + (arctan )φ ⃗⃗ + zz，A(r, θ, φ) = √x² + y² + z²r + arccos
√x²:y²:z²
⃗+ θ
电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8 章）来源：hs t10k1φ
ρ<5
=
⃗ ∙ dV = ∯ A ⃗ ∙ dS ⃗ ，因此高斯散度定理成立。 1200π，故∰ ∇∙ A V S (1)求∇ ∙ ⃗ 1-20 已知矢量 ⃗ A(x,y, z) = y²z²x ⃗ + x²z²y ⃗ + x²y²z， A；(2)求∇ ∙ ⃗ A对中心立方体的积分； ⃗ (3)求A对立方体表面的通量，并验证散度定理。 解：(1)∇ ∙ ⃗ A = 0； ⃗ (2) ∰ V ∇ ∙ A ∙ dV = 0； ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (3) ∯ S A ∙ dS = 0，验证 因为∰ V ∇ ∙ A ∙ dV = ∯ S A ∙ dS，所以高斯散度定理成立。 1-21 求下列函数的∇²u： (1)直角坐标系 u(x,y, z) = x²y²z； (2)圆柱坐标系 u(ρ, φ, z) = ρ； k (3)球坐标系 u(r,θ, φ) = ，k 为常数。 r 解：(1)∇2 u = 2y 2 z + 2x 2z； 1 (2)∇2 u = ； ρ (3)∇2 u = 0。 1-22 求下列矢量场的旋度： (1)直角坐标系⃗ A(x,y, z) = xx ⃗ + x²y ⃗ + y²zz； ⃗ (2)圆柱坐标系A(ρ, φ, z) = ρcos²φρ ⃗ + ρsinφφ ⃗⃗ ； (3)球坐标系⃗ A(r,θ, φ) =
1-23 求矢量场⃗ A(x,y, z) = x²x ⃗ + xy²y ⃗ 沿圆周x² + y² = a²的线积分。再求∇ × ⃗ A对此圆周所围 面积的面积分，并验证斯托克斯定理。 解：x = acosφ，dx = −asinφdφ，y = asinφ，dy = acosφdφ ，
2π a´π ⃗ (−a3 cos 3 φsinφ + a4 cos 2 φsin2φ) ∙ dφ = ∮ ∮ ⃗ + xy²y ⃗ ) ∙ (x ⃗ dx + y ⃗ dy) = 4 ， l A ∙ dl = ∫ 0 l (x²x
∂ | ∂x
⃗ y
∂ ∂y
z Az
⃗ x
⃗ y
∂Φ ∂y
z
∂Φ | ∂z
∂ ∂Φ | + | ∂x ∂z
Aₓ Ay
∂z ∂x ∂z ∂x
Aₓ Ay
∂Ay ∂x
Az
∂A = (Φ ∂yz − Φ
∂Ay ∂z
+
∂Φ A ∂y z
−
∂Φ A )x ⃗ ∂z y
+
(Φ ∂Aₓ − Φ ∂Az + ∂Φ Aₓ − ∂Φ Az ) y ⃗ + (Φ
2√5 ⃗ x 15
−
√5 ⃗ y 3
+
4√5 z。 15
1-10 将直角坐标系中的矢量场⃗ A = xx ⃗ + yy ⃗ + zz 分别用圆柱坐标系和球坐标系表示。 解：ρ = √x² + y²，φ = arctan ，r = √x² + y² + z²，θ = arccos
z y z y z √x²:y²:z²
2cosθ r³
r+
sinθ r³
⃗⃗ 。 φ
解：(1)∇ × ⃗ A = 2yzx ⃗ + 2xz； (2)∇ × ⃗ A = 2(sinφ + cosφsinφ)z； ⃗ = 2cosθ r + 2sinθ θ ⃗ + 2sinθ φ (3)∇ × A ⃗⃗ 。 r´ r´ r´
电磁场与微波（毕岗）课后习题答案（1-8 章）来源：hs t10k1
√ 14 z ；(3)θ 14 2 6 √ 14 ⃗ x 14 4
+
2√ 14 ⃗ y 14 2
+
3√ 14 z ，eB ⃗⃗ 14
=
3√ 14 2√ 14 ⃗ − 14 y x ⃗ − 14
= arccos − 7 ；(4)⃗⃗⃗⃗⃗ BA = − 7 x ⃗ +7 y ⃗ +7z
⃗ ∙B ⃗ = A ⃗ ∙C ⃗ 和A ⃗ ×B ⃗ = A ⃗ ×C ⃗ 且A ⃗ ≠ 0，则B ⃗ =C ⃗。 1-3 证明：若A ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 证明：因为A × B = A × C，所以A × (B − C) = 0。又因A ≠ 0，所以⃗ B −⃗ C = 0，因此⃗ B=⃗ C。 1-4 证明：如果⃗ A ，⃗ B和⃗ C在同一平面上，则⃗ A ∙ (⃗ B×⃗ C) = 0 。 ⃗ ，C ⃗ 在同平面，所以( B ⃗ ×C ⃗)⊥S ⃗ ，因此(B ⃗ ×C ⃗)⊥A ⃗ ，故 θ = 90°。A ⃗ ∙ (B ⃗ ×C ⃗)= 证明：因为B ⃗ | ∙ |B ⃗ ×C ⃗ | ∙ cosθ = 0。 |A ⃗ (2,3,1)指向B ⃗ (1,3,1)的单位矢量和两点间的距离。 1-5 求点A ⃗⃗⃗⃗⃗ = B ⃗ −A ⃗ = (−1,0,0)，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1，e⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,0,0)。 解：AB AB 1-7 求标量场u = xyz在(1,1,1)点上的值。理解矢量场和标量场之间的区别。 解： u|(1,1,1) = xyz|(1,1,1) = 1，矢量场有方向，标量场无方向。 1-8 求函数u(x, y, z) = arcsin
2pcosφ r 4πε0 r3 pcosφ 4πε0r 2
⃗ = −∇ϕ。 ，p和ε0 为常数，求矢量场E