第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题 6.1图所示。

滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰g g B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。

设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。

解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()(P r r r a e r σεεωε==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。

设0.2a m=、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。

解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。

故回路中的感应电动势为d d d d d d in dS B S B S t t⎡⎤=-⋅=-+⎣⎦⎰⎰⎰左右B E 式中00,22()i iB B r b c d r μμππ==++-左右故0000d d ln()22d d ln()2()2b cb sc d d s i ai b cB S a r r b i ai b cB S a r b c d r b μμππμμππ+++==+==++-⎰⎰⎰⎰左右则0707777d 2ln()d 2d ln()[1.0cos(210d 4100.2ln 2sin(210)2103.484sin(210)in ai b c t b a b c t b t t Vt Vμπμπππππππ-+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+=-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯E6.4 有一个环形线圈，导线的长度为l ，分别通过以直流电源供应电压U 0和时变电源供应电压U （t ）。

讨论这两种情况下导线内的电场强度E 。

解 设导线材料的电导率为γ，横截面积为S ，则导线的电阻为l R S γ=而环形线圈的电感为L ，故电压方程为d d i U Ri Lt =+ 当U=U 0时，电流i 也为直流，d 0d i t =。

故 0l lU Ri JS J lES γγ====此时导线内的切向电场为0U E l =当U=U （t ）时，d ()d i t t ≠，故d ()d()()()(())d d d ()()d i t U t Ri t LR E t S L E t S t tl E t E t S L S S t γγγγγ=+=+=+ 即d ()()()d E t lE t U t t L S L S γγ+=求解此微分方程就可得到()t E 。

6.5 一圆柱形电容器，内导体半径为a ，外导体内半径为b ，长为l 。

设外加电压为0sin U t ω，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。

解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即0sin ln ()rU tr b a ω=E e故电容器两极板间的位移电流密度为0cos ln ()d r U t t r b a ωεω∂==∂DJ e则200cos d d d ln ()l d d r r sU ti r zr b a πεωωφ=⋅=⋅⎰⎰⎰J S e e002cos cos ln ()lU t C U tb a πεωωωω== 式中，2ln ()l C b a πε=是长为l 的圆柱形电容器的电容。

流过电容器的传导电流为0d cos d c Ui CC U t t ωω==可见d c i i =6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

解 点电荷q 产生的电场满足麦克斯韦方程0∇⨯=E 和ρ∇⋅=D由ρ∇⋅=D 得d d τττρτ∇⋅=⎰⎰D据散度定理，上式即为d sq⋅=⎰ÑD S利用球对称性，得24rqr π=D e 故得点电荷的电场表示式24rqr πε=E e由于0∇⨯=E ，可取ϕ=-∇E ，则得2εεϕεϕρ∇⨯=∇⋅=-∇⋅∇=-∇=D E即得泊松方程2ρϕε∇=-6.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。

解 （1）在直角坐标中yx z x y x z y y x z z H D H J y z t D H H J z x t H H D J x y t ∂⎫∂∂-=+⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪-=+⎬∂∂∂⎪∂⎪∂∂-=+⎪∂∂∂⎪⎭yx z y x z y x z E H E y z t H E E z x t E E H x y t μμμ∂⎫∂∂-=-⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪-=-⎬∂∂∂⎪∂⎪∂∂-=-⎪∂∂∂⎪⎭0y x zy x zB B B x y z D D D x y z ρ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂（2）在圆柱坐标中111()z r r r z rz z H H D J r z t D H H J z r t H D rH J r r r t φφφφφφ∂⎫∂∂-=+⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪-=+⎬∂∂∂⎪∂∂∂⎪-=+⎪∂∂∂⎪⎭ 111()z r r z rz E E H r z t H E E z r t E H rE r r r t φφφμφμμφ∂⎫∂∂-=-⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪-=-⎬∂∂∂⎪∂∂∂⎪-=-⎪∂∂∂⎪⎭ 11()011()zr zr B B rB r r r z D D rD r r r z φφφρφ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂（3）在球坐标系中1[(sin )]sin 11[()]sin 1[()]r r r r H D H J r tD H rH J r r t D H rH J r r t θφθφθφθφθθθφθφθ∂∂∂⎫-=+⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪-=+⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂-=+⎪∂∂∂⎭1[(sin )]sin 11[()]sin 1[()]r r r E H E r t H E rE r r t H E rE r r t θφθφφθθμθθφμθφμθ∂∂∂⎫-=-⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪-=-⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂-=-⎪∂∂∂⎭ 2222111()(sin )0sin sin 111()(sin )sin sin r r B r B B r r r r D r D D r r r r φθφθθθθθφθρθθθφ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂6.8 已知在空气中90.1sin10cos(610)y x t z ππβ=⨯-E e ，求H 和β。

提示：将E 代入直角坐标中的波方程，可求得β。

解 电场E 应满足波动方程220020t με∂∇-=∂EE将已知的y y E =E e 代入方程，得22200222y y y E E E x z t με∂∂∂+-=∂∂∂式中229222922929000020.1(10)sin10cos(610)0.1sin10[cos(610)]0.1sin10[(610)cos(610)]y y y E x t z x E x t z zE x t z t πππβπβπβμεμεπππβ∂=-⨯-∂∂=-⨯-∂∂=-⨯⨯-∂故得 229200(10)(610)0πβμεπ--+⨯=则54.41rad/m β==由 0t μ∂∇⨯=-∂H E得0090911[]1[0.1sin10sin(610)0.110cos10cos(610)]y y x z x z E E t z xx t z x t z μμβππβμπππβ∂∂∂=-∇⨯=--+∂∂∂=--⨯-+⨯⨯-H E e e e e将上式对时间t 积分，得990949491[0.1sin10cos(610]610cos10sin(610)2.310sin10cos(61054.41)1.3310cos10sin(61054.41)A/m x z x z x t z x t z x t z x t z βππβμππππβππππ--=-⨯-⨯⨯+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-Ηe e e e6.9 已知自由空间中球面波的电场为sin cos()E t kr r θθω=-Εe求H 和k 。

解 可以和前题一样将E 代入波动方程来确定k ，也可以直接由麦克斯韦方程求与E 相伴的磁场H 。

而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。

将两个电场比较，即可确定k 的值。

两种方法本质上是一样的。

由t μ∂∇⨯=-∂H E得00000011()1[sin cos()]sin sin()rE t r rE t kr rrkE t kr rφθφφμμθωμθωμ∂∂=-∇⨯=-⋅∂∂∂=--∂=-e H E e e将上式对时间t 积分，得00sin cos()kE t kr rφθωωμ=-H e （1）将式（1）代入t ε∂∇⨯=∂E H得201111[(sin )(sin )]sin sin rt r H r H r r r φθφεθθεθθθ∂=∇⨯∂∂∂=-∂∂E H e e2020002sin 1cos()sin()r kE k E t kr t kr r r θθωωεωμωμ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦e e将上式对时间t 积分，得20022200021sin()sin cos()r kE k E t kr t kr r r θωθωεωμωμ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦E e e （2）将已知的sin cos()E t kr r θθω=-E e与式（2）比较，可得含21r 项的E r 分量应略去，且200k ωμε=，即k =将k =1），得00sin cos()cos()t kr t kr φθωθω=-=-H e e A6.10 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E 和B 表示麦克斯韦方程。