第一章矢量分析第一章 题 解1-1已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。

试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。

解 ① ()14321222222=-++=++=z y x A A A A14213222222=++=++=z y x B B B B ()5102222222=-++=++=z y x C C C C② ()z y e e e A A A e x a 3214114-+===()z y e e e B B B e x b 2314114++===()z e e C C C e x c -===2515 ③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④ z y zy zyxz y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯ ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 223111025117+-=---=⨯⨯因z y zy zyxz y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x45212321---=--==⨯则()z y z y e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。

1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x +=已知()βα-=⋅cos B A B A ，求得()BA B A B A βαβαβαsin sin cos cos cos +=-即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。

试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=；z y x e e e P 5263++=那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为z e e P P x -=-412同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为z y e e e P P x 8223++=-z y e e e P P x 7631---=-因两个边矢量0)()(2312=-⋅-P P P P ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。

因17142212=+=-P P 6981222223=++=-P P ，所以三角形的面积为11735.0212312=--=P P P P S 1-4 已知矢量x y y e e A x +=，两点P 1及P 2的坐标位置分别为)1 ,1 ,2(1-P 及)1 ,2 ,8(2-P 。

若取P 1及P 2之间的抛物线22y x =或直线21P P 为积分路径，试求线积分⎰⋅12d p p l A 。

解 ①积分路线为抛物线。

已知抛物线方程为22y x =,y y x d 4d =，则()()142d 6d 2d 4d d d 12322212121212-===+=+=⋅⎰⎰⎰⎰y y y y y y y y x x y P P P P P P P P l A ②积分路线为直线。

因1P ,2P 两点位于1-=z 平面内，过1P ,2P 两点的直线方程为()228121---=-x y ，即46+=x y ，y x d 6d =，则()()14412d 46d 6d 1221212-=-=-+=⋅⎰⎰yy y y y y P P P P l A 。

1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。

解 已知梯度2223)2(yz z xy y zy x z y x z y xe e e e e e +++=∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦ 那么，在点)1 ,1 ,2(-处 的梯度为z y x e e e 33--=∇Φ因此，标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数为()()13622233-=+-=-+⋅--=⋅∇z y x z y x e e e e e e A Φ1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。

证明 式（1-5-11）为()ΦψψΦΦψ∇+∇=∇，该式左边为()()()()ΦψΦψΦψΦψzy x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e x⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=z z y y x xz y ψΦΦψψΦΦψψΦΦψe e e x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=z y x z y x z y z y ψψψΦΦΦΦψe e e e e e x x ΦψψΦ∇+∇= 即，()ΦψψΦΦψ∇+∇=∇。

根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。

1-7 已知标量函数z e y x -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3sin2sinππΦ，试求该标量函数Φ 在点P (1,2,3)处的最大变化率及其方向。

解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。

已知标量函数Φ的梯度为zy x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦe e e x那么z y z e y x e y x --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇3cos2sin33sin 2cos 2ππππππΦe e xz z e y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 2sin ππe将点P (1,2,3) 的坐标代入，得()33236----=∇e e zy P e e πΦ。

那么，在P 点的最大变化率为2762362333+=--=∇---ππΦe e ezyPe e P 点最大变化率方向的方向余弦为0cos =α； 27cos 2+-=ππβ； 2727cos 2+-=πγ1-8 若标量函数为z y x xy z y x 62332222--++++=Φ试求在)1 ,2 ,1(-P 点处的梯度。

解 已知梯度zy x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦe e e x ，将标量函数代入得()()()662432-+-++++=∇z x y y x z y e e e x Φ再将P 点的坐标代入，求得标量函数 在P 点处的梯度为()y P e e x 93-=∇Φ1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。

证明 式（1-6-11）为()A A ⋅∇=⋅∇C C ，该式左边为()()()()A A ⋅∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇C z A y A xA C CA z CA y CA x C z y x z y x 即()A A ⋅∇=⋅∇C C式（1-6-12）为()ΦΦΦ∇⋅+⋅∇=⋅∇A A A ，该式左边为()()()()z y x A zA y A x ΦΦΦΦ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A zA z A y A y A x A x A z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ΦΦΦΦΦΦΦΦ∇⋅+⋅∇=A A ； 即()ΦΦΦ∇⋅+⋅∇=⋅∇A A A1-10 试求距离||21r r -在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。

解 在直角坐标系中()()()21221221221z z y y x x -+-+-=-r r在圆柱坐标系中，已知φcos r x =，φsin r y =，z z =，因此()()()212211222112221sin sin cos cos z z r r r r -+-+-=-φφφφr r()()21212122122cos 2z z r r r r -+--+=φφ在球坐标系中，已知φθcos sin r x =,φθsin sin r y =,θcos r z =,因此()()()211222111222211122221cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin θθφθφθφθφθr r r r r r -+-+-=-r r ()[]121212122122cos cos cos sin sin 2θθφφθθ+--+=r r r r 1-11 已知两个位置矢量1r 及2r 的终点坐标分别为),,(111φθr 及),,(222φθr ，试证1r 与2r 之间的夹角γ 为212121cos cos )cos(sin sin cos θθφφθθγ+-=证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为111111111cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++= 222222222cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++=已知两个矢量的标积为γcos 2121r r r r =⋅，这里为两个矢量的夹角。

因此夹角为2121cos r r r r ⋅=γ 式中)cos cos sin sin sin sin cos sin cos (sin 21221122112121θθφθφθφθφθ++=⋅r r r r2121r r =r r因此，21212121212121cos cos )cos(sin sin cos cos )sin sin cos (cos sin sin cos θθφφθθθθφφφφθθγ+-=++=1-12试求分别满足方程式()0)(1=⋅∇r r f 及()0)(2=⨯∇r r f 的函数)(1r f 及)(2r f 。

解 在球坐标系中，为了满足()[]()[]()()()0311111=+∂∂=⋅∇+⋅∇=⋅∇r f rr f rr f r f r f r r r即要求()()03d d 11=+r f rr f r()()r rr f r f d 3d 11-=⇒，求得()C r r f ln ln 3ln 1+-=即()31r Cr f =在球坐标系中，为了满足()[]()[]()0222=⨯∇+⨯∇=⨯∇r r r r f r f r f由于()[]02=⨯∇r r f ，0=⨯∇r ，即上式恒为零。