方法四： 利用函数图象观察
从函数观点看 ,不等式|x|<1的解集,是函
数y=|x|的图象位于函数 y=1的图象下方的部
分对应的 x的取值范围 .
y
∴不等式 |x|<1的解集为
1 y=1
{x|-1<x<1}
－1 o 1 x
一般结论 : 形如|x|<a和|x|>a (a>0) 的不等式的解集 :
①不等式 |x|<a的解集为{x|-a<x<a}
（2） a ? b ? a ? b ? 2 b
2、求证：（1） x ? a ? x ? b ? a ? b
（2） x ? a ? x ? b ? a ? b
1. 求 x ? 3 ? x ? 9 的最大值
2.求 x ? 3 ? x ? 9 的最小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式 |x-1|+|x-3|<k 的解集为空集，则 k的 取值范围是
变式练习: 解不等式 | 3x ? 2| ? 1． 答案: (?? ,0) ?(1, ?? )
例2.解不等式 | x2 ? 5x |? 6．
解:原不等式 ?
? 6 ? x2 ? 5x ? 6 ?
?? x2 ? 5x ? ? 6
? ?
x2
?
5x
?
6
?
?? x2
? ?
x2
? ?
5x 5x
? ?
6 6
? ?
你能解释它的几何意义吗？
?? 当向量 a, b 不共线时，
?? ? ? a?b ? a ? b
?? 当向量 a, b 共线时，
?? ? ? 同向： a ? b ? a ? b
?? ? ? 反向： a ? b ? a ? b
y
?? a?b
? a
O
? b
x
?? ? ? a?b ? a ? b
定理1 如果a,b是实数，则 a ? b ? a ? b
0 0
?
? x ? 2或x ? 3
? ?
?
1
?
x?
6
? ?1 ? x ? 2或3 ? x ? 6,
? 原不等式的解集为(?1,2) ? (3,6).
变式练习: 解不等式1 ? | 3x ? 4| ? 6．
答案: [? 10 , ? 5) ?(?1, 2]
33
3
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式 (组),常见的类型有：
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路 .
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于 1的点的集合 .
-1
0
1
∴不等式 |x|<1 的解集为 {x|-1< x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号 ,需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为 x＜1, ∴ 0≤x＜1
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离 a ? b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离 a ? b 的几何意义 表示数轴上A,-B两点之间的距离
a A
0
a
x
a?b
a?b
-B
A
B
-b
a
O
b
x
探究
设a, b 为实数， 你能比较 a ? b 与 a ? b 之
定理1的完善
绝对值三角不等 式
a ? b ? a?b ? a ? b
a ? b ? a?b ? a ? b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
(1). a ? b? c ? a ? b ? c (2). a ? c ? a ? b ? b? c
定理2
1、求证：（1） a ? b ? a ? b ? 2 a
(1) f ?x ? ? a(a ? 0) ? f ?x ?? a或f ?x ?? ? a
(2) f ?x ? ? a(a ? 0) ? ? a ? f ?x ?? a
(3) f ?x ? ? g( x) ? f ?x?? g( x)或f ?x?? ? g( x) (4) f ?x ? ? g( x) ? ? g( x) ? f ?x ?? g( x)
-a
0
a
②不等式 |x|>a的解集为{x|x<-a 或x>a }
-a
0
a
想一想 :如果 a ≤ 0 ,以上不等式的解集是什么？
例1.解不等式 | 3 ? 2x |? 7. 解:原不等式 ? 2x ? 3 ? 7
? 2x ? 3 ? ? 7或2x ? 3 ? 7
? x ? ? 2或x ? 5
? 原不等式的解集为{x | x ? ? 2或x ? 5}.
(5) f ?x ? ? g ?x? ? ?? f ?x ???2 ? ??g ?x ???2
例3.解不等式 | x2 ? 3x ? 4| ? x ? 1.
解1:原不等式?
??x2?
间的大小关系吗？
当ab>0时，a ? b ? a ? b 当ab<0时，a ? b ? a ? b 当ab=0时，a ? b ? a ? b
a?b? a ? b
定理1
如果a,b是实数，则 a ? b ? a ? b
当且仅当 ab ? 0 时，等号成立。
把实数a，b换成相量a，b，你能得出什么结果？
3、已知 ? ? 0, x ? a ? ?, y ? b ? ?,
求证 2x ? 3y ? 2a ? 3b ? 5?
绝对值不等式的解法（一）
2017 年12月18日星期一
一、复习回顾
a ,a>0
1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0
2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为 A的点 到原点的距离 .
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值
|a-b|, 表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离 .
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 ? a ,
ab ?
a
b，
| |? b
|b|
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗 ?
⑴ x ?1
⑵x ?1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号 ,需要分类讨论 ; 法三:两
②当x＜0时，原不等式可化为－ x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0 综合①②得，原不等式的解集为 {x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集.
方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 .
对原不等式两边平方得 x2<1, 即(x+1)(x-1)<0
∴－1<x<1
∴不等式 |x|<1的解集为{x|-1<x<1}.