销 地 产地
B1 200
B2 100
B3
B4
产量 300 200 400 100 1000/1000
A1 A2 A3 虚设点 销 量
200 250 200 100 450
150 100 250
第5节 应用举例
• 供应约束
x11+x12+x13+x14≤300 x21+x22+x23+x24≤200 x31+x32+x33+x34≤400
销 地 产地
B1 5 3 4 200
B2 2 5 5 100
B3 6 4 2 450
B4 7 6 3 250
产量 300 200 400 900/1000
试求满意的 调运方案。
A1 A2 A3 销 量
第5节 应用举例
• 解 上作业法求得最小运费的调运方案见表5-11。这时得 最小运费为2950元，再根据提出的各项目标的要求建立目 标规划的模型。 表5-11
等级 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 合计 工资额(元/年) 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 37 编制人数 12 15 15 42
第5节 应用举例
• 解：设x1、x2、x3分别表示提升到Ⅰ、Ⅱ级和录用到Ⅲ 级的新职工人数。对各目标确定的优先因子为：
– P1——不超过年工资总额60000元； – P2——每级的人数不超过定编规定的人数； – P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%。
C( t ) C3 1 KR C1Rt t 2 (13 1)
2.1 EOQ模型：不允许缺货，备货时间很短
• 只需对(13-1)式利用微积分求最小值的方法。令：
C dC( t ) 1 23 C1R 0 dt 2 t
第5节 应用举例
• 例7 已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量 和单位运价见表5-10。有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项 目标，并规定其相应的优先等级：
– – – – – – – P1——B4是重点保证单位，必须全部满足其需要； P2——A3向B1提供的产量不少于100； P3——每个销地的供应量不小于其需要量的80%； P4——所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%； P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4； P6——给B1和B3的供应率要相同； P7——力求总运费最省。
• 先分别建立各目标约束。
– 年工资总额不超过60000元 2000(10−10×0.1+x1)+1500(12−x1+x2)+1000(15−x2+x3)+ d1−d1+ =60000
第5节 应用举例
– 每级的人数不超过定编规定的人数： 对Ⅰ级有 10(1− 0.1)+x1+d2−−d2+=12 对Ⅱ级有 12 − x1+x2+d3−−d3+=15 对Ⅲ级有 15 − x2+x3+d4− −d4+=15 – Ⅱ，Ⅲ级的升级面不大于现有人数的20%，但尽可能多提： 对Ⅱ级有 x1+d5− −d5+=12×0.2 对Ⅲ级有 x2+d6− −d6+=15×0.2 – 目标函数：min z=P1d1++P2(d2++d3++d4+)+P3(d5−+d6−)
3x1 s1 , s1 2 x2 s2 , s2 x3 s3 9
x1 s1 / 3, 0 x2 s2 / 2, 0 x3 s3
4 动态规划和静态规划的关系
用顺推方法，从前向后依次有
f1 ( s1 ) max (4 x12 )
x1 x1 / 3
• 以上目标规划可用单纯形法求解，得到多重解。将这些解汇 总于表5-9，单位领导再按具体情况，从表5-9中选出执行方 案。
第5节 应用举例
表5-9
变 量 含义 x1 晋升到Ⅰ级的人数 x2 晋升到Ⅱ级的人数 x3 新招收Ⅲ级的人数 d1 工资总额的结余额 d2 Ⅰ级缺编人数 d3Ⅱ级缺编人数 d4Ⅲ级缺编人数 d5+ Ⅱ级超编人数 d6+ Ⅲ级超编人数 解1 2.4 3 0 6300 0.6 2.4 3 0 0 解2 2.4 3 3 3300 0.6 2.4 0 0 0 解3 3 3 3 3000 0 3 0.6 0 0 解4 3 5 5 0 0 1 0 0.6 2
* x3 s3
4 动态规划和静态规划的关系
由于s3不知道，故须再对s3求一次极值，即
0 s3 9 2 max f3 (s3 ) max 2s3 12 0 s3 9
显然，当
s3 9 时 f3 ( s3 )才能达到最大值。所以
f1 (9) 2 92 12 174
• 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
x11+x21+x31+d6−−d6+=200×0.8 x12+x22+x32+d7− − d7+=100×0.8 x13+x23+x33+d8− − d8+=450×0.8 x14+x24+x34+d9− − d9+=250×0.8
• 调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%
4 动态规划和静态规划的关系
例5 用动态规划方法解下面问题
2 2 max F 4 x12 x2 2 x3 12
3x1 2 x2 x3 9 xi 0, i 1, 2,3
解：按问题中变量的个数分为三个阶段。设状态变量为 s0、s1、s2、s3 并记 s3 9 ；取 x1、x2、x3 为各阶段的决策变量；各阶段指标函数按加法方式结合。令最优值函数 f k ( sk ) 表示第k阶段的结束状态为sk，从1阶段至k阶段的最大值。 设 则有
Q0 2C 3 R C1
见(13 2)式
2C 3 P t0 C1R P R
见(13 6)式
to
2C 3 C1 C 2 可见（ 11） 13 C1R C3
见(13 3 )式
Qo
2C 3 P C1 PR
见(13 7)式
Qo
So
2RC 3 C1 C 2 可见(13 14 )式 C1 C2
0 x2 s2 / 2
由
dh2 14 16 x2 s2 0 dx2 9 9
解得 x2
8 s2 7
因该点不在允许决策集合内，故无须判别。因而 h2 ( s2 , x2 ) 的最大值必在两个端点上选取。而 h2 (0) 所以 h2 ( s2 , x2 ) 的最大值点在 x2 0
2.1 EOQ模型：不允许缺货，备货时间 很短
• 假设：
– (1) 缺货费用无穷大； – (2) 当存储降至零时，可以立即得到补充(即备货时间或拖后时间 很短，可以近似地看作零)； – (3) 需求是连续的、均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为 常数，则t时间的需求量为Rt； – (4) 每次订货量不变，订购费不变(每次备货量不变，装配费不变)； – (5) 单位存储费不变。
d 2 h3 44 0 ，故该点为极小值点。而 又 2 dx3 9
4 2 2 s3 12, h3 ( s3 ) 2s3 12 9 故 h3 ( s2 , x3 ) 的最大值点在 x3 s3 处，所以得 h3 (0)
2 f3 ( x3 ) 2s3 12
及相应的最优解
2.1 EOQ模型：不允许缺货，备货时 间很短
• 存储量变化情况
• 立即得到补充，不出现缺货，不考虑缺货费用。
• 用总平均费用来衡量存储策略的优劣：在需求确定的情况下，每次订 货量多，则订货次数可以减少，从而减少了订购费。但是每次订货量 多，会增加存储费用。
2.1 EOQ模型：不允许缺货，备货时间很短
• 力求总运费最省
i 1 j 1 cij xij d13 d13 2950 3 4
• 目标函数为：
min z P d P2d 5 P3 (d6 d 7 d 8 d 9 ) 1 4 P4d 10 P5 d 11 P6 (d 12 d 12) P7 d 13
2C 2 C3 R C1 (C1 C 2 ) 见(13 12 )式
最大存储量S0=Q0
So
2C 3R P R 可见(13 9)式 C1 P
确定性存储模型
• • • • • 2.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短 2.2 模型二：不与许缺货，生产需一定时间 2.3 模型三：允许缺货，备货时间很短 2.4 模型四：允许缺货(需补足缺货)、生产需一定时间 2.5 价格有折扣的存储问题
第5节 应用举例
• 计算结果，得到满意调运方案见表5-12。
销地 产地
B1
B2 100
B3
B4 200
产量 300 200 400 100 1000
A1 A2 A3 虚设点 销 量
90 100 10 200
100
110 250 90 450
50 250
总运费为 3360元
C 3 90 4 100 2 100 4 110 2 250 7 200 3 50 3360 元
• 假定每隔t时间补充一次存储，那么订货量必须满足t时间的需求Rt， 记订货量为Q，Q=Rt，订购费为C3，货物单价为K，则订货费为 C3+KRt；t时间的平均订货费为C3/t+KR，t时间内的平均存储量为
1 t 1 RTdT Rt t 0 2 • 单位时间内单位物品的存储费用为C1，t时间内所需平均存储费用 为1/2（RtC1）。t时间内总的平均费用为C(t)