3.2 微分
• 微分 研究一个变量相对于一个或多个变量的变 化而变化的程度。
f (x) : x f (x) x f (x) dx df (x)
3.2 微分
• 一阶导数——变化率
• 常数微分
3.2 微分
Y a Y bX Y a bX
dY 0 dX dY b dX dY b dX
3.2 微分
• 指数函数的微分
Y ex Y eax Y eu(x)
dY ex dX
dY aeax dX
dY eu( du )
dX
dX
3.2 微分
• 自然对数函数的微分
Y loge X
dY du ) dX u dX
3.2 微分
3.2 微分
• 两个X的函数的商的微分
Y u ( X ) v ( X ) d d X Y [ v ( d u d X ) u ( d v d X ) ] v 2
• 复合函数的微分
对 于 函 数 Y f( u ) ， 其 中 u 的 本 身 是 另 一 个 变 量 的 函 数 ， 例 如 u y (x ) ， 则 d Y (d Y ) (d u ) d Xd ud X
第三章 微积分在金融中的应用
• 3.1 引言 • 3.2 微分 • 3.3 微分的应用 • 3.4 最大值和最小值 • 3.5 多元函数微分 • 3.6 积分
3.1 引言
• 微分：计算给定变量如何以什么速度变化， 尤其是计算一个变量如果随另一个变量的 给定微小变化而变化。
• 积分：被用来计算曲线或曲面所围成形状 的面积或体积。
f (x0)2ax0(xx0)a(xx0)2
3.3 微分的应用
• 使用泰勒级数估计债券价格变化
3.3 微分的应用
• 使用泰勒级数估计债券价格变化
3.3 微分的应用
• 使用微分度量债券价格风险
3.3 微分的应用
• 使用微分度量债券价格风险 • 附息债券的现值的计算公式
PCB
CF1 (1 y)
3.2 微分
• 幂函数的微分
Y Xn
Y X n
1
Y Xn
dY nX n1 dX
dY nX n1 dX
dY
1
X
1 1 n
dX n
3.2 微分
• 两个X的函数的和的微分
Yu(X )v(X ) d Yd ud v d X d Xd X
• 两个X的函数的积的微分
Y u (X )v (X )
d Y v (d u ) u (d v) d X d X d X
3.4 最大值和最小值
3.4 最大值和最小值
3.5 多元函数微分
• 偏微分
yf(x,z) 在 z不 变 的 条 件 下 ， 单 位 x变 化 引 起 的 f(x,z)的 变 化 。
表 示 为Y X
3.5 多元函数微分
• 二阶偏微分
3.5 多元函数微分
• 全微分
3.5 多元函数微分
• 鞍点
a xdx a x C (a 0,a 1) ln a
• 定积分：
3.6 积分
• 泰勒级数的展开 • 例子1：一次函数 f(x)abx
f (x)的泰勒展开式： f (x) f (x0) f '(x0)(xx0)
f (x0) b(xx0)
3.2 微分
• 例子2：二阶函数 f (x) ax2
f(x)的泰勒展开式： f(x)f(x0)f '(x0)(xx0) f''(2x0)(xx0)2
zx2y2鞍 点 在 (0,0)
3.5 多元函数微分
• 区域最大值和区域最小值
3.5 多元函数微分
• 约束条件下的最大化和最小化——拉格朗 日乘数
3.5 多元函数微分
• 约束条件下的最大化和最小化
3.5 多元函数微分
• 约束条件下的最大化和最小化——应用
3.5 多元函数微分
• 约束条件下的最大化和最小化——应用
CF2 (1 y)2
CFn (1 y)n
dP dy
(1)CF1 (1 y)2
(2)CF2 (1 y)3
(n)CFn (1 y)n1
dP dy
1 P
1 (1 y)
((11)Cy)F11
(2)CF2 (1 y)2
(n)CFn (1 y)n
1 P
3.3 微分的应用
• 使用微分度量债券价格风险
d d y 2P 2(( 1 2 )C y)F 3 1(( 1 6 )C y)F 4 2 n ((1 n y 1 ) )C n F 2n
P0 ( y h) f ( y)
P1( y h) f ( y) f '( y) h
P2 ( y h)
f (y)
f '(y) h
f '' ( y) h2 2
P3( y h)
f (y)
f '(y)h
f '' ( y) h2 2
f ''' ( y) h3 6
3.2 微分
3.5 多元函数微分
• 约束条件下的最大化和最小化——应用
3.6 积分
• 不定积分：微分的逆过程。 • 定积分：求曲线围成面积的过程。
3.6 积分
• 常见的不定积分
0dx C
1d x x C
x d x x 1 C ( 1, x 0 )
1
1dx x
ln
x
C
(x
0)
e xdx e x C
• 二阶导数 • 决定一阶导数变化率是增加、减少还是以
恒定速率变化。
• 计算：只需对函数的一阶导数再进行微分。
3.2 微分
• 泰勒级数展开
• 思想：使用更简单的函数去近似一个函数。
• 下面列出在y点泰勒级数对f(y)的近似值，常 数近似值表示为 P 0 ( y ) ，一次近似值表示成 P1 ( y )