一、经济分析中常用的函数（一）需求函数和供给函数】【21.需求函数。

需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。

我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q （p ）（Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。

一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数（如图一）。

需求曲线特征：横轴Q 为需求量，纵轴P 为自变量价格；需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。

当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。

2.供给函数。

一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S （p ），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg 。

一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。

（如图二）供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。

当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。

（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S 时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。

（三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。

一般来说，价格是销售量的函数。

在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多就可以把价格讲得越低。

例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。

在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。

在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。

要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。

2.收入函数。

在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。

销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。

因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。

其中 Q 表示销售量，P 表示价格。

3.利润函数。

利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。

则L=L（Q）=R（Q）-C（Q）。

其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。

总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。

三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用（一）、边际分析经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。

例如，当消费者多吃一单位的【3。

冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用】【4：设函数y=f(x)可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。

在经济学中，我们经定义】常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。

成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。

平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。

边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数）C 。

（p边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以，产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产量的增长速度大于成本的增长速度，所以边际成本随产量的增加而递减；当产量增加到一定程度时，由于边际收益递减规律的作用，边际成本又随产量的增加而增加。

如果不考虑最初的短暂情况，那么，它的变动规律主要表现就是：边际成本先是随产量的增加而减少，当产量增加到一定程度时，就随产量的增加而增加，因此，边际成本曲线也是一条先下降后上升的“U”形曲线。

下面我们来看几个例子：例1为什么甜筒会第二个半价？解：我们买甜筒的时候都是第二个半价，很多人会很不解。

其实对于肯德基来说，店租、水电费、人工以及原材料都已经包含在了第一个甜筒的成本里面，当你再买第二个的时候已经把所有这些费用都分担了，后面半价的第二个只需要原材料的成本，就是所说的边际成本，我们都知道原材料费用一般都很低，所以肯德基第二个甜筒在你身上赚的更多都有可能。

例2漳州某餐厅，餐厅每天工作人员的工资与设施设备折旧的费用是1000元，该餐厅每天最多可以准备1500份饭菜，其中每份的成本是3元，卖出去一份是6元。

如果有150个人来吃，有1500个人来吃，那么每份饭的总成本如下：150个人来吃：（150*3+1000）/150=9.67元151个人来吃：（151*3+1000）/151=9.62元1500个人来吃：（1500*3+1000）/1500=3.67元可以看出来道理跟例1是一样的。

所以当实际产量还没达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减；当实际产量超过一定限度（生产能力）时，边际成本随产量的扩大而递增。

例3假设一种商品生产p个单位时的成本为2=）（pp+C，求：2500.（1）当生产商品200单位时的边际成本和平均成本；（2）当生产商品数量为多少时平均成本最低。

解 (1)边际成本函数为C'（p）=0.4p平均成本函数为c（p）=（500/p）+0.2p则 C'（200）=80，c（50）= 42.5（2）我们知道当边际成本函数等于平均成本函数，即C'（p）=c(p)时，平均成本函数c（p）取得极小值。

所以 4p=（500/p）+2pP=50所以当商品生产数量为50时平均成本最低。

需求函数p （z ）表示销售z 单位某种产品时的单个产品的价格。

那么，p （z ）是z 的单调减少函数】【5。

收益函数是R （z ）=xp （z ），边际收益函数是R'（z ）。

利润函数是P （z ）=R （z ）-C(z),边际利润函数是P'（z ）。

例4】【6假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加r p 105⋅（其中510为酒的贮量，P 为当年白酒价格，r 为利息率，且假定r=10%），那么这些酒须储存多久效益才 最大呢？分析：假设须贮X 年才最佳，由已知可得如下函数关系： 1. x 年增加的总收入函数x 102x 210x 55⨯=⨯=）（R （元）2. x 年增加的贮存总成本25555x20000x 90000]10/x 102810[%1010x x 10000x +=⨯+⨯⋅⨯⋅+=）（）（C （元） 3. x 年净增利润函数 ）（）（）（x C -x x R L = ]x 20000x 90000[x 10225+-⨯= 2x 20000x 110000-=（元）此时边际收入：5102x '⨯=）（R 边际成本：x4000090000x '+=）（C 因为当）（）（x 'x 'C R =利润最大，所以有x 40000900001025+=⨯，即x=2.75（年）。

由于驻点唯一，故只有当储存期为 2.75年时,企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元。

由此可知导数作为高等数学中的一个重要概念，在经济学中有许多应用，是经济学应用的一个重要工具。

（二）、需求价格弹性分析从前面我们可以知道边际在经济学中是经常用到的，同样弹性在经济学中也是经常用到的概念，弹性与导数概念密切相关，也是一种变化率的问题。

在西方微观经济学中, 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。

具体地说, 当一个经济变量发生1%的变动时, 由它引起另一个经济变量变动的百分比。

因此, 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度。

弹性的定义】【7：设函数y=f （x ）在点x 处可导，函数的相对改变量yy∆与自变量x x ∆的相对改变量之比，当0x →∆时的极限称为函数y=f （x ）在点处的相对变化率，或称为弹性函数。

记为）（）（x 'f x f xx =E 1.需求价格弹性的概念。

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。

记为)('d P Q P Q PE ）（=。

由于需求函数是价格的递减函数，所以需求弹性d E 一般为负值。

其经济意义为：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增加（或减少）%d E 。

当d E =-1（即|d E |=1）时，称为单位弹性。

即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等。

2.需求价格弹性的应用 2.1在厂商定价中的应用在商品经济中，经营者关心的是提价或降价对总收益的影响，利用需求弹性的概念，可以得出结论：涨价不一定增加收益，降价不一定减少收益。

例5 设某商品的需求函数为Q=1000-5p , Q 为需求量p 为价格，讨论其弹性。

解：由弹性定义知,需求量 Q 对价格 p 的弹性为 ： E （p ）=pQ ′（p ）／Q （p ） =-5p/1000-5p=-p ／200-p首先分析当需求相对变化率与价格相对变化率相等即|E(p)|= 1时，p =100 。

当0<p<100时，|E(p )|< 1，在这一价格范围内，随价格减小，—E ( p ) —也递减，需求量的变化幅度小于价格变化的幅度，若此时采取降价措施，因需求量增加的百分比小于价格降低的百分比，总收入会减少。

当 100<p< 200 时, |E(p)|> 1，在这一价格范围内，| E(p)|随p 的增加而增加，需求量的变化幅度大于价格变化的幅度，若此时采取提价措施，因需求量下降的百分比大于价格增加的百分比， 总收入会减少。

当p =100时，|E( p )|=1，此时价格上涨1﹪，需求量将减少1﹪，需求量的变化幅度等于价格变化的幅度，是最优价格。

由此可知：当弹性|E(p)|>1时，采取降价措施，可以达到薄利多销的目的。

当弹性|E(p)|<1时，采取适当提高价格，不会因盲目降价促销而影响总利润。

在商品经济活动中进行边际分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策2.2在价格预测中的作用由于需求弹性等于需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比，所以在产品需求弹性、基期价格已知的条件下，我们可以在预测未来需求量或需求量变动率后，预测商品在未来某一时期的价格。