近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合)1}(,1,,2,1,0{φm m m M m -⋯⋯=,定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则(m M ,m +)是不是群,为什么?四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、设G 是群。
证明:如果对任意的G x ∈,有e x =2,则G 是交换群。
2、假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域。
近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----na a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R 对于加法来作成一个循环群,则P 是----------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集。
2、设E 是所有偶数做成的集合,“•”是数的乘法,则“•”是E 中的运算,(E ,•)是一个代数系统,问(E ,•)是不是群,为什么?3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、若<G,*>是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b。
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是()。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群。
A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A 、(N,≤) B 、(Z,≥) C 、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D 、 (P(A),⊆)5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )A 、(1),(123),(132)B 、12),(13),(23)C 、(1),(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f1----------。
3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z 8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。
9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n=,那么m 与n 存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环。
S 1+S 2也是子环吗?3、设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ。
τ-1;1.求στ和στ-1的奇偶性。
2.确定置换στ和σ四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A.2B.5C.7D.102.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射ϕ:x→x+2,∀x∈R,则ϕ是从A到B的()A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。
A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是()A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”:∀m, n∈Z, mοn=0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”:∀m, n∈Z, mοn=1二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于∀a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于∀a∈G,则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。