高中数学专题：圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的综合问题例1 (12分)(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,－2),椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 规范解答解 (1)设F (c,0),由条件知,2c ＝233,得c ＝ 3.[2分]又e ＝c a ＝32,所以a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.[5分](2)当l ⊥x 轴时,不合题意,故设l ：y ＝kx －2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),[6分]将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.[7分]当Δ＝16(4k 2－3)>0,即k 2>34时,x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1, 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.[9分] 设4k 2－3＝t ,则t >0,S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4,当且仅当t ＝2,即k＝±72时等号成立,且满足Δ>0,[11分]所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.[12分]评分细则第(1)问得分点1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结果错误只得1分.2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分.第(2)问得分点1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设出直线方程不得分.2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方程不正确,不得分.3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分.4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数据,不给分.5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分.6.写出直线l的方程得1分.第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中某个值；第二步：求圆锥曲线方程；第三步：分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二次方程；第四步：由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决问题的思路；第五步：通过化简、运算,得出结果；第六步：回顾反思,查验问题的完备性.跟踪训练1(·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (14分)(·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C 的方程.(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E ,①证明直线AE 过定点,并求出定点坐标.②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p 2,0).设D (t,0)(t >0),则FD 的中点为(p ＋2t 4,0).因为|F A |＝|FD |,由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2, 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去).[2分]由p ＋2t 4＝3,解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分](2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D,0)(x D >0).因为|F A |＝|FD |,则|x D －1|＝x 0＋1,由x D >0得x D ＝x 0＋2,故D (x 0＋2,0),故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ,代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0, 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0,得b ＝－2y 0.[6分]设E (x E ,y E ),则y E ＝－4y 0,x E ＝4y 20. 当y 20≠4时,k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4, 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时,直线AE 的方程为x ＝1,过点F (1,0),所以直线AE 过定点F (1,0).[9分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0),所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.[10分] 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1,y 1).直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0),由于y 0≠0,可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0, 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0, 所以y 0＋y 1＝－8y 0, 可求得y 1＝－y 0－8y 0,x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[12分] 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16, 当且仅当1x 0＝x 0,即x 0＝1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.[14分]评分细则第(1)问得分点1.求出t 的值,得2分,列出关于t 的方程,求解结果错误只得1分.2.得出抛物线方程得2分.第(2)问得分点1.写出直线l 1在y 轴上的截距得2分.2.得出直线AE 过定点得3分,只考虑当y 20≠4,且得出此时直线AE 过定点,只能得2分,只考虑当y 20＝4且得出此时直线AE 过定点,只能得1分.3.求出|AE |的长,且结论正确给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分.4.正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果,但没有过程只能得1分.5.求出面积的最小值得2分,没有指出等号成立的条件扣1分.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发,引进相关参数.一般地,引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件,表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程,将动态的直线方程转化成y －y 0＝k (x －x 0)的形式,则k ∈R 时直线恒过定点(x 0,y 0)；若是动态的曲线方程,将动态的曲线方程转化成f (x ,y )＋λg (x ,y )＝0的形式,则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ,y )＝0与g (x ,y )＝0的交点；第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时,引进参数的目的是以这个参数为中介,通过证明目标关系式与参数无关,达到解决问题的目的.跟踪训练2 已知椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1,离心率为e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点,试问：在x 轴上是否存在一个定点M ,使MP →·MQ→为定值？若存在,求出这个定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.答案精析第5讲 圆锥曲线跟踪训练1 解 (1)由题意得,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1, 所以a 2＝4,b 2＝2,从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2,c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB→＝0, 即tx 0＋2y 0＝0,解得t ＝－2y 0x 0. 当x 0＝t 时,y 0＝－t 22,代入椭圆C 的方程,得t ＝±2,故直线AB 的方程为x ＝±2,圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )． 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0.圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2. 又x 20＋2y 20＝4,t ＝－2y 0x 0,故d ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．跟踪训练2 解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝2－1，c a ＝22，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0),设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则MP →＝(x 1－m ,y 1),MQ →＝(x 2－m ,y 2),MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.①当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝k (x －1),由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0,即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0,则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1,x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1, y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1, 所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1. 因为对于任意的k 值,MP →·MQ→为定值, 所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2),得m ＝54.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0,此时,MP →·MQ →＝－716. ②当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝1,则x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝1,y 1y 2＝－12,由m ＝54,得MP →·MQ →＝－716.综上,符合条件的点M 存在,且坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.。