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m - s + t - n， 即秩 B≥秩 A - m + s - t +n 命题 6： 已知秩(AB)=秩(B),试证对任意可右乘矩阵 C， 有 秩(ABC)=秩(BC)
引理 3： 引理 4：
证明： 由引理 1 得， (ABC)≤秩(BC)， 秩 因为 于是由引理 1-4 得：
引理 5： 命题 2： m×n 矩阵。 证明： 因为 ， 于是由引理 1 得 从而有秩 （ABC） （AB） 秩 ≥秩 + （BC）- 秩 (B)， 又已知秩 （AB） =秩（B） 代入上式得秩（ABC） , ≥秩（BC） ，所以，秩 （ABC） （BC） =秩 推论 1 ： A 为 n 阶矩阵， 设 证明 An = 秩 An+1 = 秩 An+2=… 又因为 ， 综上即得 证明： 因为 n = 秩 E = 秩 A0≥秩 A≥秩 A1≥秩 A2…≥秩 An≥0 于是必有正整 k(0≤k≤n)， 使秩 Ak≥秩 A k+1， 由命题 6 得 秩 An = 秩 An+1 = 秩 An+2 = … 命题 3： A 为 s×n 矩阵， 设 则有， 秩(E-ATA) - 秩(ES-ATA) = n - s。 证明： 因为 1-5 得 又因为 ， 同理可得 ， 于是由引理 3 结语 本文从利用分块矩阵求矩阵的秩和证明矩阵秩的不等式 两方面讨论了分块矩阵的应用， 通过以上实例我们可以看出, 分块矩阵的在解决有关矩阵秩的一些问题时具有简洁、 快速、 易于操作等特点, 可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值 有所认识和了解， 它既是一种解题方法又是一种解题技巧。 但 它的应用并不止这些，它还有更宽更广的应用还有待于我们 去深入的探索和研究。 所以有： (E-AAT) - 秩(ES-AAT) = n - s。 秩 命题 4： 设为 m×n 矩阵， s 是从 A 中取 s 行得到的矩阵， A 则秩 As≥秩 A+s-m 证明： 不妨设 As 是 A 的前 s 行， 而后 m-s 行构成的矩阵为 B， 则 ， 其中 A, B 均为
矩阵 (b22B4-B3B2) 的元素又可通过矩阵 B 的元素很有规则 地用 2 阶行列式表示成一个 (m-2)× (n-2) 矩阵， 如此继续下去，
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93理 5 得 ， 由命题 4 知 又因为 所以 A≤秩 B +
经过 m-2 次计算矩阵的秩， 最后剩下一个 2× (n+2-m)矩阵而求 其秩就是很显然的了， 这样矩阵 A 的秩通过有规则的计算， 可 以很迅速的求出。 2 利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 引理 1： 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩， 两个因子 中有一个是可逆的， 他们乘积的秩等于另一个因子的秩。 引理 2：
参考文献： [1] 张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社,2004. [2] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技 术高等专科学校学报,2004(4):50-53. [3] 杨子胥. 用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质 [J]. 数学通报, 1985(3):40-45. [4] 刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范
， 其中 A1 = (a11)， 2 = A
。 由分块矩阵
分别是 m 阶, n 阶可逆矩阵，
把求 m×n 矩阵 A 的秩数的问题转化为求(m-1)× (n-1)矩阵 (a11A4-A3A2)的秩数问题， 而后面这个矩阵(a11A4-A3A2)的元素可 通过 A 的元素很有规则地用 2 阶行列式表示， 即
在高等代数的证明和计算中你是否遇到过很多困惑，有 时推来推去又回到了起点； 有时就好像走到了绝路， 前面无路 可走； 有时甚至找到的是一条繁琐的路， 让人头昏眼花……这 些都说明你的思路和方法出现问题， 需要改变前进的方向。 很 多时候如果尝试对矩阵进行分块，再用矩阵的一些定理来进 行分析， 就会经常能看到胜利的曙光。 矩阵是一种新的运算对象，我们应该充分注意矩阵运算 的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当地对矩阵进行 分块， 把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的， 这 样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵的分块是处理阶数较高 的矩阵时常用的方法,用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵 分成若干子块, 使阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵, 在运算中, 我们有时把这些子块当作数一样来处理, 从而简化 了表示,便于计算。分块矩阵有相应的加法、 乘法、 数乘、 转置 等运算的定义。分块矩阵在高等代数中是一个非常重要的工 具， 它有很重要的理论意义， 在数学计算的很多方面都有比较 好的应用， 它使的计算变得更简单， 使我们更容易理解并掌握。 因此, 如何直接运用分块矩阵显得非常重要， 利用分块矩阵不 仅能使矩阵的一些证明和计算变得非常简洁和快速，易于学 生理解和掌握, 而且能开拓学生思维， 提高学生灵活应用知识 解决问题的能力。 1 用分块矩阵求矩阵的秩 命题 1： 设 是一个 m×n 矩阵， 1 = (a11)≠0， 2 A A 其中 (i = 2,3,…,m ) 所以 而 即 乘法有： (a12,a13,…,a1n) ，
于是由引理 5 得 命题 5： A 为 m×n 矩阵， 是 A 的一个 s×t 矩阵， 设 B 则秩 B≥秩 A + s +t - m- n 证明 ： 不妨设 B 位于 A 的左上角， 且设
专科学校学报,2006,4(22):39-41. [5] 张禾瑞,郝炳新.高等代数 (第 4 版)[M].北京:人民教育出版 社,1995.
科研探索
与 知识创新
分块矩阵在求矩阵秩及其相关不等式证明中的应用
□ 蒋滟君
江苏・沭阳 223600）
（宿迁经贸高等职业技术学校 摘
要： 分块矩阵是矩阵论中的重要内容之一， 在很多方面都有很好的应用。 运用矩阵分块的思想， 可使解题更
简洁， 思路更开阔。从利用分块矩阵求矩阵的秩和证明矩阵秩的不等式两方面讨论了分块矩阵的应用。 关键词： 分块矩阵 中图分类号： O177 矩阵的秩 矩阵秩的不等式 文献标识码： A 文章编号： 1007-3973 2011） （ 010-093-02
= (a12,a13,…,a1n)
如果 b22 ≠ 0， 则矩阵 B 的秩为 r(B)= 1+r(b22B4-B3B2)， 其中 B1 = (b22),B2 = (b23…b2n), 。
分别为 1×1， (n-1),(m-1)×1,(m-1)(n-1)矩阵,则 r (A)= 1+r 1× (a11A4-A3A2)。 证明： 因为