考研数学矩阵的8大秩及其证明2009
()1
证明：根据矩阵秩的定义直接得出。

()2
证明：对矩阵A 任意添加列后变成矩阵(), A B ，则秩显然不小于()R A ，即： ()(), R A B R A ≥ 同理： ()(), R A B R B ≥
因而：()(){}(), , Max R A R B R A B ≤成立。

又设 ()(), R A r R B t ==，把, A B 分别做列变换化成列阶梯形~
~
, A B
1110
3
810
1100
1000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
如：就是列阶梯形
用~
~~
~
1
1
, r r a a b b 分别表示非全零列，则有：
()~
~~
()1~~
~
~~
()1
, 00, , , 0
0表示列变换表示列变换c r c c r A A a a A B A B B B b b ⎧⎛⎫−−−−−→= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎛⎫
⇒−−→⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪−−−−−→= ⎪⎪⎝⎭
⎩
由于初等变换后互为等价矩阵，故()~~, , R A B R A B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
而矩阵~~, A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭只含有r t +个非全零列，所以：()()~~~~, , R A B r t R A B R A R B ⎛⎫⎛⎫
≤+⇒≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

综合上述得：()(){}()()(), , Max R A R B R A B R A R B ≤≤+
●特别地：如B b =为列向量，则()1R b ≡()()() , 1R A R A B R A ⇒≤≤+。

●如B E =，设()(), , m n m R A B R A E ⨯=， 则
()()() , , m n m m m n m m R A E R E m R A E m ⨯⨯≥≥=⇒=
()3
证明：
()()()()()()()()()()()()
2 , , , , , , A B B A B R A B B R A B R A R B R A B R A B B R A B R A B R A R B +→⇒+=−−−−→+≥=+≥+⇒+≤+由公式知
()4
证明：()1 设()()() ,AB C B AX C R A R A C R C =⇒=⇒=≥是的解
()()()()
()
()()()()()(){},min , T R B R B T
T
T
T
T
T
T
B A
C R B
R B
C
R C R B R C R C R AB R A R B n
==⇒=≥−−−−
−→≥⇒=≤≤又，
()2 设()(), m n n s R A r R B t ⨯⨯==
则A 的标准型为000r
m n E ⨯⎛⎫
⎪⎝⎭，B 的标准型为000t n s
E ⨯⎛⎫
⎪⎝⎭ 存在可逆矩阵, , , m s n n P Q P Q 使：
()()()()()111111
1
1
00 0
000000000000000n r n t r
t m n n s m n n s
r t r
t
m n n s m n n s m n n s m n n s
r t
r n t n n n n
n r t m E
E P AQ P BQ E E E E AB P Q P Q P M Q m m M Q P m m R AB R P -⨯-⨯⨯------⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯---⨯-⨯⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎪
=−−−→= ⎪
⎝
⎭
⇒=分块()()()()11
00000000 000000 0000 n r n t r t n n s m n n s r t n n m n n s r t r n t r
t n r t m n n s E E M Q E E R M m m E E R m m -⨯---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=()()000r r t t r r t t r t E m E R R E m E R m ⨯⨯⨯⎛⎫
== ⎪⎝⎭
()()()()()()()()()()()()() --r t n n n n n n n n r t r t r t r t m M R M n M n r n t M m R m R m n n r n t r t n R A R B n R AB R m R A R B n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡--≥--=+-=+-⇒=≥+-注意到矩阵是满秩矩阵的子阵，。

考虑到极端情况：即中有行没有一个零元素，有列没有一个零元素，这时，中的零元素全部在矩阵中，从而使取得最小值，所以：
()5
证明：设()12, ,
, l B b b b =，则
()()()12, ,
, 0, 0,
, 00 1,2,
,l i A b b b Ab i l =⇒==
()()()()()()
()()12 0 0 ,., , , i l B l AX AX S R S n R A b S R B R b b b R S n R A R A R B n
===-∈⇒=≤=-⎡⎤⎣⎦⇒+≤ 上式说明的个列向量都是齐次方程的解。

如果的解空间为 其维数就是 显然，
()6
证明：分三种情况
（1）()R A n =，A 满秩、可逆，1
**0n A A A E A A
-=⇒=≠，*A 可逆，()*R A n =
（2）()1R A n =-，说明A 中至少有一个元素的代数余子式不为零，即存在
()**001ij A A R A ≠⇒≠⇒≥
又()1R A n =-，A 不可逆，则
()()()()****
0011
A A A R A R A n R A R A =⇒=⇒+≤⇒≤⇒=
（3）()1R A n <-时，由矩阵秩的定义知，A 得所有1n -阶子式为零0ij A ⇒≡ ()()**00T
ij A A R A ==⇒=
如()1R A n =-，则()()()*
*
110A R R A R A n n A ⎛
⎫=+=-+= ⎪⎝⎭。

()7证明：考察下列两个齐次方程组
(1)0
(2)
T A AX AX == 显然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基础解系包含于（1）的基础解系，即 ()()()()T T n R A n R A A R A A R A -≤-⇒≤ 另一方面
()()
()0000T
T T T A AX X A AX AX AX AX =⇒=⇒=⇔=
因此，（1）的基础解系包含于（2）的基础解系，即
()()()()
()()()()()
T T T T n R A n R A A R A A R A R A R A A R A R A A R A -≥-⇒≥∴≥≥⇒=
而()()()()T
T T T R AA R A
A R A A R A ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
()8证明：设()(), R A r R B s ==，则：
1
21
234341
21
2343
4
0000000
0000000000000000000000 0000000
00
0r r
s s r r
s s E E C C E A C C E C B C C C C E E E C
E C C E C C C C C ⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦初等行列混合变换()()()()()4440000000000
000000
00 0000
0 r
s r s r s r s E C E A E R R R E R E R C R E R E r t C B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⇒==++≥+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
()()()()4 0 0 0 C A R R A R B C C B =⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭
时等号成立时等号成立
下面3个关于秩的公式也常常使用。