经济数学--微积分期末测试及答案(A)经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1.函数1()x f x +=Ａ）；()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-U2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；3333()()()()A y x B x yC y xD x y ===-=-3.函数214y x =-的渐近线有（Ａ）；3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f xB y x f xC y f x f xD y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的试题号 一 二三四 总分 考 分 阅卷人11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln x y x=，则dy ＝（Ｄ）；222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx xx xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. 2arccos 1y x x x =-y '解：12222(arccos )[(1)]arccos arccos 121y x x x x xxx'''=--==--2. 求2(cos sin 32)x x x x e dx -+++⎰解：原式＝3sin cos 2x x x xe x c+++++（其中c 是任意常数） 3.求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得1y =；方程两边对x 求导６７７５得 4100599151000y x y x y y ''-++=， 将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1xx x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5.设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩在1x =处可导，求常数a和b解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x ax -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==２５７３６７３６７00006. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x x x -'''''====±++令得列表讨论如下：x 1(,)2-∞- 12- 11(,)22-121(,)2+∞y ''_ 0+ -0 _ y I 拐点1(,ln 2)2- U 拐点1(,ln 2)2I7. 求21dx x +⎰11312222312211(2122212121112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)]4431(21)(21)2dx dx x dxx x x x d x x d x x x c x x c -==+++++=+++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2x x f e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x x xux x xx xx x x xx xf x xe e xe e x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e cx e c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：２７46６三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x 吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x 是需求量，单位：吨；p 是价格，单位：百元）；(1) 该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？ 解：(1) 2100050.001p x x =+-32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-g令2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-<且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L xx x x =-++-== （百元） 故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．3８106四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+ （其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）证明：0a =Q 时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+ 0a > 时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-< 故有()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）２４。