圆的有关性质一、引言与圆有关的知识，初中我们学习了圆心角、圆周角等有关角的概念及性质，掌握了垂径定理等有关结论，会判断点与圆的位置关系，但对于直线和圆、圆与圆的位置关系及有关性质很少涉及，本讲将补充圆的有关重要性质，为后续学习作准备。

二、回顾梳理1.圆心角及有关性质：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距相等。

推论：同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别对应相等。

2.圆周角及有关性质：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论：（1） 同弧或等弧所对的圆周角相等。

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

（2） 半圆或直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

（3） 圆的内接四边形对角互补。

3.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（1） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3） 弦长公式：222:1-11d r l l d r -=的关系和弦长，弦心距，圆的半径如图（4） 若圆心为O ，半径为R ，则点P 与圆O 的位置关系的判断：R 。

|OP|P R;|OP|P R;|OP|P >⇔=⇔<⇔外上内在圆点在圆点在圆点三、衔接拓展1. 圆内外角、圆外角和弦切角及性质：（1）圆内角：如果角的顶点在圆内，.212-11）（，如图COD AOB APB ∠+∠=∠ （2）圆外角：如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交， .-213-11）（即为圆外角，且，如图AOB COD APB APB ∠∠=∠∠ （3）弦切角：顶点在圆上，角的一边与圆相交，另一边与圆相切， .214-11AOT TBA PTA PTA ∠=∠=∠∠即为弦切角，且，如图2. 直线和圆的位置关系：.;;1R d O l R d O l R d O l d l O O R l >⇔=⇔<⇔相离与圆直线相切与圆直线相交与圆直线，则：的距离为点到直线，，圆心为，圆的半径为）设直线（（2）切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （3）切线的性质定理：.,,,5-1122为圆半径）（且是切点，则，的两条切线，是圆，如图R R PO PB PA PB OB PA OA B A O PB PA -==⊥⊥P（4）相交弦定理：圆内的两条弦相交，则被交点分成的两条线段长的积相等，PD PB PC PA •=•，即如图2-11 （5）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线与这点到该圆交点的 两条线段长的比例中项.PB PA PT •=24-11，即如图 3. 圆与圆的位置关系：).()();()(2.,),(,12222r R d r R d r R d r R d r R d r R d r R d r R r R d r R d d r R r R +>+-=->--=-<-=+<<-+=+>>内公切线长当两圆有内公切线时，，外公切线的长）当两圆有外公切线时（公切线时，两圆内含，此时无当一条外公切线；时，两圆内切，此时有当两条外公切线；时，两圆相交，此时有当切线；条外公切线和一条内公时，两圆切，此时有两当公切线；两条外公切线和两条内时，两圆外离，此时有当则圆心距为）设两圆半径分别为（四、典例剖析.36261求这个圆的半径，距离为，且这两条平行线间的和的长度分别为：已知圆的两条平行弦例分析：.6-11所以要分两种情况讨论心的两侧，心的同侧，也可以在圆，两条平行弦可以在圆如图.10.10369362,6.2)2(.,3963626.16-1112222===-+-=+===---=-==r r r r ON OM CD AB O r r ON OM CD AB O r 为综上所述，得圆的半径解得，得，则所示含线上），如图在两条平行线的内侧（若无解得，，则由，示中的图如图在两条平行线的外侧，）若（，分两种情况：【解】设圆的半径为.,6,51的长度的中点，求弦是弧弦的半径已知圆仿例演练BD AB D cm AB cm OB O ==.94,,,7-112的半径，求圆，若，于点，切半圆切于点分别于半圆，：如图例O CD AB E O BE D A O CD AB ==.6125135.//13,,,,2222==∴=-=-=∴=-=∆=⊥=+=∴==∴OD OA O CF BC BF FD CD CF BFC Rt AD BF CD BF F CD AD BF CD AB BC CE CD BE BA E O BC D A O CD AB 的半径圆，，中，在，且，则于点交，作，于点切半圆，切于点分别与半圆【解】Θ.,10132求它的内切圆半径，底边长为等腰三角形的腰长为仿例演练cm cm.2317)3(2)2(.1))((,)2(32.32..12,,8-11322222222222222-=⇒+=++•=-∴-=+-=••=•+=+∆+=+∴+=∆+=•====x x x x x DH AH DH AH DH AH DH AH DB AD DC ED DB AD x DH PH PHD Rt x PH AH PH AH AP APH Rt x PC PE AP x DE H AB PO DE CD PE PC AB D O PEC B A PB PA 联立①②③可得：③，而再由相交弦定理得：②；中，又在）①；（，中，在）（，则由切割线定理得：，设于交【解】连用有关定理求解等，因此可综合考虑利的切线、割线、相交弦分析：从条件发现有圆的长度，求，的交点，若与是的一条割线，是圆是切点），是圆的两条切线（，：如图例.,2108909-113的半径都相切，求圆与上，且圆在线段的圆心若圆，上，在线段，点，，中，，在直角三角形如图仿例演练O AC AB O BP O O AP AC P AB AC C ABC ===︒=∠.,46251004225,10086,4225)29(622586,29),0,9(),0,29(),0,17(,3.45143),875,29(),6,9(292.62361),12)(3(61,61)6,0(),12)(3(,).6,0(,6,123),0)(0(1..23,,21.,,0,12,0,310-11422222222222222222相切与圆，即直线又，，，轴的交点为与直线，连结于点）如图，作（的解析式为：直线又对称，易求得关于直线，）（即：所求抛物线的解析式为代入求得将抛物线为两点，又抛物线经过，即由射影定理得：，，设上，在圆）【解】（就可求得坐标，抛物线的解析式分析：只要求出点由的位置关系，并说明理与圆）中的直线）判断（（的解析式；外），求直线的第四个交点（除是抛物线与圆）设（；）求此抛物线的解析式（三点，其顶点为经过，抛物线轴的负半轴交于点与为直径作圆为圆心、的中点），以（点的坐标为）点坐标为（为坐标原点，，在直角坐标系中，：如图例P MD MD PD PE DE PD EF DF DE PF DF PD PE EF DF PF F P E x MD PD F AB DF x y MD M D x D C x x y x x y a C x x a y B A C y y OB OA OC y y C BC AC P C C P MD MD C B A P D M C B A c bx ax y C y P AB P AB B A O ⊥∴==+=+∴=+=+==+=+=====∴⊥-=∴--=--=-+=∴=--+=∴--=∴⨯=•=<⊥∴++=-ΘΘ.,,11-114明的位置关系，并给出证三点的圆与过，请判断连结，于，交于交对角线，连结至中，延长，正方形如图仿例演练O C F E PC PC E CD P BD AF F BC ABCD课后练习 （一）选择题1.的半径长为，则圆的距离为到圆心的长为中，弦在圆O cm AB O cm AB O 4,6 A. 3cm B. 4cm C. 5Cm D. 6cm=∠︒=∠︒=∠MQP PMQ K K MN PQ O MN ，则，，若的延长线交于点延长后与的直径，弦是半圆如图，4020.2A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°====BD AC CD AB PA D C B A O O PCD PAB :1175,,.3，则，，，若和于的两条割线，分别交圆都是圆和如图，A. 1:3B.5:12C. 5:7D. 5:11的值为，则若于点，交上，链接在劣弧，点内接于圆如图，正方形QAQCQO QP Q AC DP AB P O ABCD =..4A. 1-32B. 32C.23+ D.23+其中矩形的个数是形，个等分点为顶点作四边等分，以其中任意个数字把圆周这钟面上的4121212~1.5 A. 10个 B. 14个 C. 15个 D. 30个(二)填空题._____23.7._______5380,20.6=∠︒=∠ADC CAB AB ABCD cm cm cm cm ，则是直径，中，圆内接四边形水面宽度变为时，，当积水下降水面宽度深圆形污水管中原有积水.____,,,,,14,22,20.9._____5,1:2:6.8的周长为，则于和，分别交于圆切又直线的内切圆，切各边于点为圆中，如图，在的半径等于，则圆若为两部分，分，点的弦已知圆BMN N M BC AB G O MN F E D ABC O cm AC cm BC cm AB ABC O OP PB AP AB P AB O ∆∆===∆===(三)解答题10.江南一带的河道上架有许多小桥，这些小桥往往是圆弧形拱桥。

某地一座圆弧拱桥的桥下水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船顶为方形并高出水面2m 的货船要经过这里，这艘船能从这桥下通过吗？说明理由。

.218.11的面积）（的半径；）半圆（，求若，于切半圆的弦的直径，半圆是半圆的直径，是半圆如图，BCE C AE F C AE O C OB O AB ∆=..,,)3()2()1(.,),0,2(,1.121211说明理由的坐标；若不存在，请合条件的点若存在，请求出所有符相似为顶点的三角形与，使得以上是否存在一点线段的函数解析式；求切线求二次函数解析式；两点的图象经过二次函数的坐标为圆心，的切线，切点为为圆两点，轴交于与的圆如图，已知半径为P M OO A O P P OM OM B A c bx x y O M O OM B A x O ∆++-=。