DB 圆的基本性质基础知识回放集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD»»BC BD =»»AC AD=B圆心角定理圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：BABAO推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线,.PDB两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ∴PA ·PB=PC ·PAAlO（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB ⊥CD ∴（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴弧长、扇形面积公式 （1）弧长公式：（2）扇形面积公式：中考热点难点突破22CE DE EA EB==g 2PA PC PB=g PC PB PD PE=g g 180n Rl π=213602n R S lRπ==例1：如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧»CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45o B．60o C．75o D．90o例2：如图，在Oe中，AOB∠的度数为m C，是¼ACB上一点，D E，是»AB上不同的两点（不与A B，两点重合），则D E∠+∠的度数为（）A．m B．1802m-o C．902m+o D．2m例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）A．5 B．7 C．375D．377试题演练一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm3，则弦CD的长为（）A．3cm2B．3cm C．23cm D．9cmOPDCBA例1图ACDEO例2图第1题图第2题图第3题图第4题图OA BC例3图2．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC ＝80°，则∠A 等于（ ） A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米8．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53B ．5C ．52D ．6B CDA第6题图 第7题图第8题图第9题图10.如图，A、D 是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D ＝35°，则∠OAC的度数是（）A．35°B．55°C．65°D．70°二、填空题11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为．12．如图，点C在以AB为直径的O⊙上，1030AB A=∠=，°，则BC的长为．13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为 .14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为»BC上一点，若∠CEA＝28o，则∠ABD＝°.DA BCE15．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD＝__________°.16．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分ACB∠，若AB＝2,∠CBA＝15°，则CD的长为．17．已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30则BC＝______cm.18．如图所示，A、B、C、D是圆上的点，17040A∠=∠=°，°，则C∠=—度．第10题图第11`题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图A CDO19. 在⊙O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝．20．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．三、解答题21．如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C = 25°，求∠A的度数．22．如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．第18题图第20题图23．如图，P 为正比例函数x y 23=图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）． （1）求⊙P 与直线2=x 相切时点P 的坐标；（2）请直接写出⊙P 与直线2=x 相交、相离时x 的取值范围．四、解答题（每小题8分，共24分）24．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm ×11cm ，如图甲．用尺量出整卷卫生纸的半径（R ）与纸筒内芯的半径（r ），分别为5.8cm 和2.3cm ，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm ？（π取3.14，结果精确到0.001cm ）图①图②25．如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2 cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．（1）如果∠POA＝90o，求点P运动的时间；（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．26．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；（3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线．五、解答题（每小题8分，共16分）27．如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。
铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环α=．中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sin0.6（1）求点M离地面AC的高度MB（单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．28．图①是用钢丝制作的一个几何探究具，其中△ABC 内接于⊙G ，AB 是⊙G 的直径，AB ＝6，AC ＝3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图②），然后点A 在射线OX 由点O 开始向右滑动，点B 在射线OY 上也随之向点O 滑动（如图③），当点B 滑动至与点O 重合时运动结束． （1）试说明在运动过程中，原点O 始终在⊙G 上；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），试求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）在整个运动过程中，点C 运动的路程是多少？图① 图② 图③参考答案中考效能测试1．B 【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠ＣＤＢ＝300，所以∠ＣＯＢ＝600，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝21ＣＯ＝23，根据勾股定理可得ＣＥ＝23，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm.2．D 【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。