高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)　知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。

②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l （6）两直线平行与垂直当，时，111:b x k y l +=222:b x k y l +=；212121,//b b k k l l ≠=⇔12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点相交0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点坐标即方程组的一组解。

⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 方程组无解 ；方程组有无数解与重合21//l l ⇔⇔1l 2l （8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，1122(,),A x y B x y ，（）则 ||AB =（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离()00,y x P 0:1=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

常考题：一．选择题（共20小题）1．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣22．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，π）B ．[0，]∪[，π）C ．[0，]D ．[0，]∪（，π）3．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．C ．D ．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点P 在直线x+3y﹣2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则的取值范围是（ ）A ．[﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（﹣，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）7．设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x ，y ），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A ．[，2]B ．[，2]C ．[，4]D ．[2，4]8．若直线l 1：mx+2y+1=0与直线l 2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m 的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．413．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣416．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 ．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 ．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 ．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为 ．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．35．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．48．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．49．已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0和l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．50．如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（ ）A．﹣3B．2C．﹣3或2D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．2．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选：B．3．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设直线3x+y﹣1=0的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．直线3x+y﹣1=0化为y=﹣x+，∴tanθ=﹣，∴．故选：C．5．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选：C．6．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．7．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．8．若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，∴m×1+2×1=0，解得m=﹣2．故选：B．9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）【解答】解：直线方程整理得：2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴，解得：，则直线过定点（3，1），故选：C．10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k=，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[）．③当a＜0时，直线的斜率，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（]．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C．11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k=3或k=﹣，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A．13．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）【解答】解：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）【解答】解：如图，∵P（﹣1，2）、M（﹣3，﹣2）、N（4，0），∴，．由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．故选：D．15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣4【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，∴×=﹣1，∴m=10，直线mx+4y﹣2=0即5x+2y﹣1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1=0，∴p=﹣2．把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，可得n=﹣12，∴m﹣n+p=20，故选：B．16．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条【解答】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C．17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得，即y2=3x2﹣3．联立，得．要使直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则△=，即．解得m∈∪．∴实数m的取值范围是∪．故选：C．20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选：C．二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是　3+2　．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为　﹣1或　．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是　[5，+∞）　．【解答】解：∵P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，），∴=（x+m，），=（x﹣m，）；又∠APB=90°，∴•=（x+m）（x﹣m）+=0，即25x2+150x+625﹣16m2=0；∴△≥0，即1502﹣4×25×（625﹣16m2）≥0，解得m≥5，或m≤﹣5，又m＞0，∴m的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是　[﹣3，+∞）　．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即x+y﹣4+a （﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，有0≤θ＜π，直线可化为y=﹣tan•x，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ=﹣tan，又有0≤θ＜π，则θ=，故答案为：．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是　　．【解答】解：考虑|x﹣1|+|y﹣a|=1的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x取到1则y可以取a+1或a﹣1，图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a）这样一来，||平方的最大值就是：当a＞0，（a+1）2+1 或a2+4当a＜0，（a﹣1）2+1 或a2+4比较它们的大小：当a≥1时，（a+1）2+1；﹣1＜a＜1时，a2+4；a≤﹣1时，（a﹣1）2+1．作以上函数图象，再读出y取值范围为[，17]时a取值范围是．故答案为：．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为　4x﹣y﹣13=0或x=3　．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为　3　．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l斜率k=1﹣m，∵倾斜角，由k=tanα可得1≤k≤，∴1≤1﹣m≤，解得1﹣≤m≤0；（Ⅱ）在直线l：y=（1﹣m）x+m中，令x=0可得y=m，∴点B（0，m）；令y=0可得x=，∴点A（，0），由题设可知m＞1，∴△AOB面积S=|OA||OB|=•m•==[（m﹣1）++2]≥[2+2]=2，当且仅当（m﹣1）=即m=2时S取得最小值2，此时直线l的方程为：x+y﹣2=035．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．∴﹣2×=0，=，分别化为：a=5b，a+2b﹣3ab=0．解得：，∴直线AB的方程为：y﹣0=（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7=0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a=b=1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×|OP|×|AB|==．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，∴a+2b=3ab=≤，解得：a+2b≥．∴S△OAB≥×=，当且仅当a=2b=时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y=（x﹣1），化为：4x﹣y﹣4=0．（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|==．联立，解得B，可得|PB|==．∴|PA|•|PB|====f（m），m=﹣3时，f（﹣3）=1；令m+3=k≠0，f（m）=g（k）==，k＜0时，g（k）=≥=．k＞0时，g（k）=≥=，而＜，∴g（k）的最小值为：．当且仅当k=﹣时取等号．∴m=﹣﹣3．∴直线AB的方程为：（﹣﹣3）y=x﹣1．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．【解答】解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．故点C的坐标（5，﹣6）．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．当x=1时，y=，当x=3时，y=，由可得A（1，），B（3，），从而k BC==，k AC==﹣，∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于log2x1==3log8x1，log2x2==3log8x2OC的斜率，OD的斜率．由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一条直线上．（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．于是点A的坐标为（，log8）．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．【解答】解：（1）设P（x，y）关于直线l：3x﹣y+3=0的对称点为P′（x′，y′）．∵k PP′•k1=﹣1，即×3=﹣1．①又PP′的中点在直线3x﹣y+3=0上，∴3×﹣+3=0．②由①②得把x=4，y=5代入③及④得x′=﹣2，y′=7，∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（﹣2，7）．（2）用③④分别代换x﹣y﹣2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为﹣﹣2=0，化简得7x+y+22=0．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．【解答】解：设l的方程为y﹣1=﹣m（x﹣1），则P（1+，0），Q（0，1+m）．从而可得直线PR和QS的方程分别为x﹣2y﹣=0和x﹣2y+2（m+1）=0．又PR∥QS，∴|RS|==．又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ &nbsp;=[+]•=（m++）2﹣≥（2+）2﹣=3.6．∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？【解答】解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12﹣y）2=3（y﹣4）2+146．所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（0，4）．（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法二：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，函数x=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是；43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．【解答】解：（1）设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，直线l的方程为：+=1，且直线l过点M（1，1），∴+=1①；∴a+b=（a+b）•（+）=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b时取“=”，将a=b代入①式得a=2，b=2；∴直线l的方程为x+y﹣2=0，即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y﹣2=0；（2）设直线方程为y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），则A（﹣+1，0），B（0，1﹣k），∴|MA|2+|MB|2=[（﹣）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+≥2+2•k2•=4，当且仅当k=﹣1时取“=”；∴当|MA|2+|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．【解答】解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），∵AA′被l垂直平分，∴，解得∵点A′（﹣4，﹣3），B（1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为=，即4x﹣5y+1=0，解方程组得入射点的坐标为（﹣，﹣）．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x﹣4y+2=0，光线从A到B所走过的路线长为|A′B|==．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P （3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．【解答】解：∴∴直线AC的方程为即x+2y+6=0（1）又∵k AH=0∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6（2）解（1）（2）得点C的坐标为C（6，﹣6）47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意联立直线方程，解方程组可得，∴A（3，1）（2）解法一：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），又，∴CD边所在的直线方程为化为一般式可得：x+4y+3=0解法二：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，∴1+4×（﹣1）+m=0，解得m=3，∴CD边所在的直线方程为x+4y+3=0解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，P关于点M的对称点为P′（x0，y0），。