必修二 第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x , α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+ac +c 2，∴b 2-c 2+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0. 2.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A .21B .33 C .23D .3答案D3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1,即2x +3y -12=0. 方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2,令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3).即2x +3y -12=0.9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0.又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21.两直线方程例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1不平行于l 2;当a =0时，l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不垂直，故a =1不成立.当a ≠1时，l 1:y =-2a x -3,l 2:y =x a -11-(a +1), 由⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a =32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32.例3 已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1,分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)，∴直线l 2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2×(y -1)+3,整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则 （ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C . 0°＜α≤135°D . 0°＜α＜135° 答案 D2.曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A .30°B .45°C .60°D .120°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A .1B .4C .1或3D .1或4答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2y -5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ， ∴A 、B 、C 三点共线.例2已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34.例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2），∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵l 过点（3，2），∴123=+aa ，∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0, 综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为y -2=k (x -3),令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32,∴直线l 的方程为：y -2=-（x -3）或y-2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43.又直线经过点A （-1，-3），、 因此所求直线方程为y +3=-43(x +1),即3x +4y +15=0. 例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |·|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+b a （1）∵2ba 12•≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4.当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即x +2y -4=0. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |·|PB |取最小值4.此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12（1-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. 6分（2）|PA |·|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k =4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A .1B .2C .3D .4答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）·A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C .x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案B3.若点A （2，-3）是直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是 （ ）A .2x -3y +1=0B .3x -2y +1=0C .2x -3y -1=0D .3x -2y -1=0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+25.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题6.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2，∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x+my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,由已知，得|-6b ·b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 8.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=090;②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33Y ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-，∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈[)(]0120,9090,30Y .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.9.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0. 方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0，∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3,此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.。