数学模型课程作业
注意事项：
请将以下作业的答案写（或打印）在一张A4纸上，于16周周四前交给关老师。

交作业方式：14周周四9-10节带至课堂上交。

其它时间自行送往行政楼706室上交。

（若室内无人，请塞入门缝中。

） 题目：
1. 流感病毒的传播符合阻滞增长模型。

假设流感自然传播感染率为25%。

海上一艘连载有120
人的船，出发时有5人感染了流感，但没有明显症状，所以未有采取措施防止流感传播。

请问出海第几天，新增感染人数最多。

（提示：阻滞增长模型：11t t t t a a a r a N +⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，其中a t :第t 期的数量；r :自然增长率；N :
最大限制值，且r , N > 0.）
答案要求：列出模型；计算出出海第几天，新增感染人数最多。

2. 因为生产成本原因，某汽车制造商在湖南、江西生产汽车，再运往广东、浙江、上海三地
销售。

湖南、江西两地汽车年产量与广东、浙江、上海三地年销售量，以及每辆汽车从产地运往销售地的平均成本，见下表（单位：百）
请制定成本最低的配送方案。

（提示：用线性规划方法列出成本最低的数学模型） 答案要求：列出线性规划模型；可不算出解。

3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）：()1rt
N
y t be
-=
+ t ：时间；y (t )：t 时刻生物数量；N ：环境最大容量，N > 0；r ：生物的增长率r > 0；b 为常数。

模型常用于描述受环境约束的生物增长情况。

如人口或其它生物数量增长、封闭地区的传染病传播等。

(1)理解如下阻滞增长模型线性化过程：
11ln 1ln 1rt rt
rt N N N N y be be b rt be y y y ---⎛⎫=
⇒=+⇒-=⇒-=- ⎪+⎝⎭
令21ln 1,ln ,N Y p b p r y ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭则：21ln 1ln N b rt Y p p t y ⎛⎫
-=-⇒=+ ⎪⎝⎭
(2)利用阻滞增长模型线性化结果，根据“数据.xls ”中1954年至2005年我国总人口数据，（研究认为我国最大人口容量约为15亿）分析我国总人口随时间变化的关系。

答案要求：列出我国总人口随时间变化的Logistic 模型；通过回归给出模型回归系数的值。

4. 请计算出下图从点 a 出发到点 j 的最短路径：
a
j
2
k
答案要求：列出点 a 到点 j 的最短路径及其长度。