第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为b a a a a a E t d di L i R u ++=，t d d K E m b b θ=，a m m i C M =，t d d f t d d J M mm m m m θθ+=22； )]()([)()(2m b m a a m m a m a ma m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ。

⑴ 设状态变量m x θ=1，m x θ =2，m x θ =3，输出量my θ=，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量a i x =1，m x θ=2，m x θ =3，输出量my θ=，试建立其动态方程； ⑶ 设x T x =，确定两组状态变量间的变换矩阵T 。

解：⑴ 由传递函数得 a m a m m a m b m a m a u C x R J f L x C K f R xJ L ++-+-=323)()( ，动态方程为 []xy u x x x x x x001100010001032121321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡αα ，其中)/()()/()()/(21m a a m m a m a m b m a m a a m J L R J f L J L C K f R J L u C u +=+==αα；⑵ 由微分方程得31332311x f x C x J x x u x K x R x L m m m a b a a -==---= ，即 []xy u x x x a a a a x x xa 0200010100032133311311321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ ，其中 mm m m a b a a J f a J C a L K a L R a ////33311311-==-=-=；⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32133313210100010x x x a a x x x 。

9-2 设系统的微分方程为u x x x=++23 其中u 为输入量，x 为输出量。

⑴ 设状态变量x x =1，xx =2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。

解：⑴ u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y ； ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x T x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111T ；u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110012121 ，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y 。

9-3 设系统的微分方程为u y y yy 66116=+++ 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。

试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。

解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，[]x y u x x 0061006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ；[]xy u x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-4 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x 、2x 、3x 。

试求动态方程，并画出状态变量图。

解：由图中信号关系得，31x x= ，u x x x 232212+--= ，32332x x x -= ，1x y =。

动态方程为 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020********* ，[]x y 001； 状态变量图为9-5 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程23213213212161162u x x x xu u x xu x x+---=-+=+= ，32122112x x x y x x y -+=-=， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。

解：状态方程 u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，xy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011； 状态变量图为9-6 已知系统传递函数为3486)(22++++=s s s s s G ，试求出可控标准型(A 为友矩阵)、可观标准型(A 为友矩阵转置)、对角型(A 为对角阵)动态方程。

解：135.015.113452)(2++++=++++=s s s s s s G ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25104310 ；[]u x y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10254130 ；[]ux y u x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=115.05.13001 。

9-7 已知系统传递函数为)2()1(5)(2++=s s s G ， 试求约当型(A 为约当阵)动态方程。

解：2)1(5)1(525)(+++-++=s s s s G ；u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=555100110002 ，[]x y 011=。

9-8 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A , 试求A 的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将A 约当化。

解：特征方程0)I det(=-A s ，即014=-s ；特征值11=λ、12-=λ、j =3λ、j -=4λ；特征向量依次对应矩阵1-T 的列，所求变换矩阵为T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-j j j j T 111111*********；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j T 11111111111121；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-j j TAT A 00000000100011。

9-9 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ， 试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。

解：幂级数法求解，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=k k kA 100)1(；⎥⎦⎤⎢⎣⎡===Φ-∞=∑t t k k k tA e e t A k e t 00!1)(0； 拉普拉斯变换法求解，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---)1/(100)1/(11001)I (11s s s s A s ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=Φ---t t e e A s L s 00])I [()(11。

9-10 求下列状态方程的解：x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=300020001 。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Φ---t t te e e t 32000000)(，得到 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---)0()0()0(00000023132x x x e e e x t t t 。

9-11 已知系统的状态方程为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101 ， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。

解法2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(111)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-t t te e s x L x 212)]([1。

9-12 已知系统的状态转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t tt t t tt e e e e e e e e t 222232332223)(，试求该系统的状态阵A 。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Φ==4321)(0t t A 。

(注：原题给出的)(t Φ不满足A =Φ)0( 及A t t A t )()()(Φ=Φ=Φ 。

) 9-13 已知系统动态方程u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=210311032010 ，[]x y 100=， 试求传递函数)(s G 。

解：B A s C s G 1)I ()(--=，[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++----+-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-210231503620396710021031103201100)(22231s s s s s s s s s s s s s s s G ； 67372)(32--++=s s s s s G 。

9-14 试求所示系统的传递函数矩阵。

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1012016116100010 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=112011。

解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=---2222311611666161166116161161001)I (s s s s s s s s s s s s s s s A s ； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=1012016116661611611201161161)(22223s s s s s s s s s s s s s G ； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++--+++==442845429461161)(22223s s s s s s s s s s G 。

9-15 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，试列写可控标准型(A 为友矩阵)离散动态方程，并求出1)(=k u 时的系统响应。