任意角的三角函数
一、教学内容分析
三角函数是重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。

它不仅是本节的核心概念，也是三角函数内容的核心概念。

由于角的概念的推广，锐角三角函数的概念也必然要扩充，任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。

二、教学目标分析
（一）知识与技能
1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。

2.了解三角函数是以角为自量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。

（二）过程与方法
1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。

2.在定义任意角的三角函数过程中，领悟直角坐标系的工具功能，体会数形结合的魅力。

（三）情感态度与价值观
1.引导学生积极探索、深入思考，在任意角三角函数定义建构的过程中，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。

2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。

三、学情分析
在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函
数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。

这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。

认识一个函数，关键是认识函数的三要素。

在学生学习过的函数中，一次、二次、反比例或者用图、表表示的对应法则的函数，其三要素是比较容易找到的，指、对函数的学习就需要一定的基础，同样在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三要素，比如正弦函数y=sinα中自变量是角α，并且α∈R，对应法则是一个角与其正弦值对应，至于这个值怎么计算，在此处是规定为角α终边与单位圆交点的纵坐标，通过例2可以看出，也可以利用比值定义。

对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值，这一点本质上是统一的，要引导学生类比理解。

此外，由于学生对角度制的应用已经很熟练，而对弧度制的应用比较陌生，所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题，这需要教师的引导，同时也需要时间适应。

四、教学策略
1．学生理解锐角三角函数与三角形的大小无关可能会有一定难度，原因是在初中，锐角所在的三角形是给定的。

通过几何画板的动态性来克服这个困难。

2．学生理解“三角函数可以看成是自变量为实数的函数”会有一定困难，原因是初中学习的锐角三角函数是用来解三角形的工具，并没有作为函数研究。

在教学过程中，通过几何画板演示，分析角的终边唯一，终边与单位圆的交点唯一，交点的坐标唯一，让学生理解正弦、余弦、正切是函数。

3．在研究例1的变式2时，学生在求角的终边与单位圆的交点时，可能会有困难，原因是给定的角终边上的点并不在单位圆上，为了解决这个困难，设计了变式1，从而分散这个难点。

五、教学过程设计
（一）教学流程设计
回顾旧知→初步感知→类比分析→生成新知→解决问题→形成技能→目标检测→能力培养→梳理知识→提升思想→课后巩固→知识内化→分析联系→洞悉本质
（二）教学环节设计
1．回顾旧知，初步感知
O
教师：你是依据给出的锐角得出的结果吗？
学生4：不是，我自己做的角，这样做方便。

O
教师：如果求这个给定的锐角的正弦、余弦、正切，那么应当怎么办？
O
学生4：在锐角的一条边上任取一点A，过点A做另一条边的垂线，垂足为M，
O
只需要测量AO、AM、MO的长度，即可求出锐角的正弦、余弦、正切。

意图：让学生亲自动手操作，让学生感受到，如果所作的三角形，有一条边的长度是特殊值，这样会让计算更方便，为问题3作好铺垫。

问题3 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？
学生5：让三角形OAM的斜边长为单位长。

教师：根据是什么？
学生5：斜边出现的概率大，三个比值中，斜边在分母中出现两次，少数服从多数。

教师：回答的非常精彩、形象。

（热烈掌声）
O
意图：让学生意识到，既然锐角的三角函数值与所在的三角形大小无关，则可以选择特殊的三角形来求三角函数值，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫。

2．类比分析生成新知
问题4 如何定义任意角的三角函数?可否用定义锐角三角函数的方法来定义任意角的三角函数?
教师：这节课，我们一起来研究任意角的三角函数。

板书本节课的题目：任意角的三角函数。

学生6：不行，因为不能把钝角放入直角三角形，更不要说负角、零角了。

教师：也就是说，研究锐角三角函数的平台不能研究非锐角三角函数，那么应当选择哪个平台呢？想一下，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪个平台进行研究的？
学生6：直角坐标系。

教师：把角放入坐标系中研究，有什么优势。

x
学生6：由于角顶点与原点重合，始边与轴重合，所以研究角即研究角的终边。

意图：直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，借助坐标系，可以使角
4．目标检测能力培养
P15 1至7
设计意图：应用本节课的知识解答简单的问题，学以致用。

5．梳理知识提升思想
教师：本节课你学习了哪些知识？
学生24：任意角三角函数的定义,三角函数的定义域，三角函数值在各个象限的符号,公式一。

教师：你能说说每个知识点的用途吗？
学生24：任意角的三角函数的定义可以用来求给定的某个角的三角函数值，公式一可以把任意角的三角函2
数值，转化为0到角的三角函数值，当给我们一个角的三角函数值时，我们可以判断这个角所在的象限。

教师：说得非常准确，谁能说说本节课中渗透的数学思想？
学生25：在分析任意角的三角函数定义时，渗透了特殊到一般的思想、数形结合的思想，公式一渗透了转化与化归的思想，在分析例2时渗透了函数与方程的思想。

教师：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了。

设计意图：总结本节课的主要内容，让学生了解知识的来龙去脉，明确知识产生的必要性，知识应用在何处，如何应用，知道研究问题的过程中渗透的数学思想。

6.课后巩固知识内化
P20 A组 4、5、7
设计意图：通过作业，让学生加深对任意角的三角函数的概念的理解，评价学生对本节课的内容学习情况。

7.分析联系洞悉本质
P13 三角函数的另外一种定义，试分析两种定义的联系。

设计意图：如果学生在生成任意角的三角函数概念过程中，分析了传统定义，则本部分略，否则，通过这个思考题，让学生感受传统定义与单位圆定义的一致性，体会单位圆定义的优势。

教学设计说明：本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”。

在本节课的学习过程中，首先让学生了解学习任意角三角函数的必要性。

在本节课中，没有直接把任意角的三角函数概念介绍给学生，而是把初中学习的“锐角三角函数”作为先行组织者，在教学的过程中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与任意角三角函数概念的探索过程，整个教学过程遵重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题。

通过自主探究，交流合作。