4.2 相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求① 了解对顶角，知道对项角相等。

② 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意 义。

③ 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点 画一条直线的垂线。

④ 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质⑤ 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已 知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥ 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离 典型例题1. 判定与性质 例1判断题： 1） 不相交的两条直线叫做平行线。

（ ） 2） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（ ） 3） 两直线平行，同旁内角相等。

（ ） 4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

（ ）答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” （2） 错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

（3） 错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等” 例2已知：如图，AB// CD 求证：/ B+Z D=Z BED 分析：可以考虑把/ BED^成两个角的 如图5,过E 点引一条直线EF// AB 则有Z B= 1,再设法证明Z D=Z 2,需证EF// CD 这可通过已知 AB// CD 和EF// AB 到。

证明：过点E 作EF// AB 则Z B=Z 1 （两 线平行，内错角相等）••• AB// CD （已知），又••• EF// AB （已作），••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行） •••Z D=Z 2 （两直线平行，内错角相等）。

和Z得 直o平<536oo o oF 尸B o Ao o FEA BC oAB FG H ECD（圍9）o又 o又 直线平•••/ FED / D=180 （两直线平行，同旁内角互为此 辅助 B- / Do小发生 --------- D （等式的性平C° 又 v/ BED / 1+/ 2,•••/ BED / B+/ D （等量代换）。

变式 1 已知：如图 6, AB// CD ,求证：/ BED=360 - （/ B+/ D ） 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。

我们通常所说的/ BED 都是指小•••/ 1+/ 2+/D=180 o•••/ 1+/2+/D- （/ 1+/ B ） =180° -180 ° •••/ 2=/ B- / D （等式的性质）。

于平角的角，如果把/ BED 看成是大于平角的角，可以认 题的结论与例1的结论是一致的。

因此，我们模仿例1作 线，不难解决此题。

证明：过点E 作EF / AB 则/ B+/仁180°（两直线 行，同旁内角互补）v AB// CD （已知）， • EF / AB （已作），•• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行） ••/D+/2=180°（两直线平行，同旁内角互补）••/ B+/ 1 + / D+/ 2=180° +180°（等式的性质） .•/BED / 1+/ 2， •• / B+/ D+/ BED=360 （等量代 ••/ BED==360 - （/ B+/ D ）（等式 变式2已知：如图7, AB// CD 求证：/ BED / 分析：此题与例1的区别在于E 点的位置不同， 也不同。

模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E 作EF / AB 则/ FEB=/ B （两直线平行，内错角相等）。

v AB// CD （已知）， 又v EF / AB （已作）， ••• EF//CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

•••/ FED / D （两直线平行，内错角相等） v/ BED / FED-/ FEB•••/ BED / D-/ B （等量代换）。

变式3已知：如图8，AB// CD 求证：/ BED / 分析：此题与变式2类似，只是/ B 、/ D 的大 了变化。

证明：过点E 作EF / AB 则/ 1+/ B=180 （两 行，同旁内角互补） v AB// CD （已知）， 又v EF / AB （已作），• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相换） 的性质） D- / B o从而结论即/ BED" B- / Do例3 已知：如图9, AB// CD / ABF" DCE 求证：/ BFE=/ FEC证法一：过F点作FG// AB，则"ABF" 1（两直线平行，内错角相等）过E点作EH// CD，则"DCE" 4 （两直线平行，内错角相等）。

••• FG// AB （已作），AB// CD （已知），••• FG// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又••• EH// CD （已知），••• FG// EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。

•••" 2=" 3 （两直线平行，内错角相等）。

" _ -=•••" 1+" 2=" 3+" 4（等式的性质）'即"BFE" FEC ......... ---------------------- D 证法二：如图10,延长BF、DC相交「一•于G 点。

T AB// CD（已知），•••"仁"ABF（两直线平行，内错角相等）又•••" ABF=/ DCE（已知），仁"DCE（等量代换）。

• BG// E（同位角相等，两直线平行）BFE"FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）证法三：（如图12）连结BCT AB// CD（已知），ABC" BC（两直线平行，内错角相又ABF=/ DCE（已知），•" ABC" ABF =" BCD" DCE（等式的即/ FBC" BCE•BF// EC（内错角相等，两直线平行）＜BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）强化训练一. 填空1. 完成下列推理过程①T" 3= " 4 （已知），//等）o 性B( )② •••/ 5= / DAB （已知）， ••• _ // _____ （ ③ •••/ CDA + =180° （已知）， ••• AD// BC （2. 如图，已知DE// BC,BD 是Z ABC 勺平分线，// ABC= 50° 则Z A _____ 度，Z BDG ____ 3. 如图，AB// CD,BE,C 吩别平分Z ABC Z BCD, 贝UZ AEB^Z CED= ____ 。

4、 将点P （-3，y ）向下平移3个单位，向左平移2个单到点 Q （x , -1），则 xy= _______ 。

5、 已知：如图，直线AB 和CD 相交于O, Z BOC且Z AOC=68，则 Z BOE ________二. 选择题1. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向， 这艘船位于这个灯塔的（）A 南偏西50度方向；B 南偏西40度方向；C 北偏东50度方向;D 北偏东40度方向2. 如图,AB // EF// DC EG// BD,则图中与Z 1相等 共有（）个A 6个B .5 个C .4 个3. 同一平面内的四条直线若满足 子成立的是（ ）A 、 a // dB 、b 丄 dC 、 D.50°6 （2003南通市）判断题已知，如图，下列条件 判断直线l 1 //I 2的是（） （A ）Z 1 = Z 3 （B ）Z 2=Z 3（C ）Z 4=Z 5 （D ）Z 2+Z 4= 180°7. （北京市海淀区2003年）.如图，直线c 与直 交，且a//b ，则下列结论：（1） 1 2 ; （2） 1 3;EDC = 109°,D.2 个 a 丄b,b 丄c,c 丄d,B4、 如图,/ 1和/2互补,/ 3=130° ,那么/ 4的度数是 A. 50 ° B. 60 ° C.705. 已知：AB// CD 且/ABC=20 , / CFE=30 , 则/ BCF 勺度数是()() D.80°a 丄 d D 、b II cOEF 分D 那么E F 列式图2-4B的角位后得 A.⑶ 3 2中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. （2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是o( )A 、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B 、两线与第三线相交，内错角相C 、两直线平行，内错角相等；D 、两直线平行，同旁内角相等。

9. (2003年安徽省)如图，AB// CD ，ACLBC,图中与/ CA 互余的角有……()10. （日照市2004年）如图，已知直线AB// CD 当点E 直线ABW 间时，有/ BED 二/ ABE^Z CD 成立；而当点E 在直线AB 与CD^外时，下列关系式成立的是 （ ） A Z BE 9Z ABE^Z CD 或Z BED=Z ABE-Z CDE; B Z BED=Z ABE-Z CDEC Z BED=Z CDE-Z ABE 或Z BED=Z ABE-Z CDE;D Z BED=Z CDE-Z ABE三. 解下列各题：1. 如图，已知 OAL OC OBLOD Z 3=26°，求Z 1、Z 2的度数。

求证：AB// CD 3. 如图,AB // CD 求Z BAE^Z AE 阡 Z EFO Z FCD 勺度数.4. 已知,如图 AC L BC,HF L AB,CDL AB, Z EDCf Z CHI 互 补,求证：DEL AC.第5题 第6题A.1个B.2 个C.3 个D.4A\V"界9个 2、第2题F・C第3题5. 如图，已知 AB// ED, / ABC=135 , / BCD=80，求/ CDE 勺度数。

6. 已知：如图，ADL BC 于D, EGL B （于G, AE =AF.求证：ADf 分/ BAC 四、如图A 、B 是两块麦地，P 是一个水库，A B 之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A B 两地浇灌小麦, 设计方案，并说明理由。

相交线与平行线2. 1 略；121°，84°；3. 90 ° ；4.-10 ； 5。