变式2
5.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°
【答案】B
【解析】
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC= ∠AEC．
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】证明：连接AC，
设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，
即∠C=∠B+∠F．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，
如图，
作MN∥AB，
由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，
∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题的关键.
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴ ；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
【详解】解：①如图：过点E作 ，
， ,
，
，
；
②如图，过E点作 ，过F点作
过G点作 ，
，
，
，
，
即 ;
③如图：
，
根据以上规律可得：
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键．
变式1
4.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
（3）方法同（2）
【详解】（1）过点E作EF∥AB
∵∠B=25°
∴∠BEF=∠B=25°
∵∠BED=80°
∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55°
∵∠D=55°
∴∠D=∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD
（2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B，
∵CD∥EF，
∴∠DCF=∠F，
变式3
13.如图所示， .求证：
【答案】详见解析
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
1、笔尖型
解法1
解法2
解法3
解法4
解法5
解法6
例题5
15.如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
变式1
11.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF= ∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋ ∠C＝∠C＋ ∠A，
∴∠E＝ （∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
模型二 笔尖型（牙齿型）
A.α+β＝180°B.α+β＝90°C.β＝3αD.α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【详解】分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到 作差即可.
详解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选D．
点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.
变式4
14.如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
变式4
7.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A. 30°B. 150°C. 120°D. 100°
【答案】D
【解析】
【详解】过C作CQ∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
平行线中的模型
模型一M型
1、M型基础
例题1
1.如图，若 ，则 ，你能说明为什么吗？
【答案】见解析
【解析】
【分析】过 作 ，利用两直线平行，内错角相等来证明．
【详解】解：过 作 ，
则 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过 点作 的平行线，利用平行线的性质来证明．
例题2
2.在图中， ， 与 又有何关系？
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
2、锯齿型
【点拨】锯齿模型 证明思路
锯齿模型
过每个折点作这组平行线的平行线
形成若干相等的内错角
锯齿模型的变换解题思路
例题4
10.（1）如图1，已知 ， ，求证：
（2）如图2，已知 ， ， ，求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合
【详解】
过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180 ,∠2+∠5=180 ，
∵∠1=105 ,∠2=140 ，
∴∠4=75 ,∠5=40 ，
∵∠4+∠5+∠3=180 ，
∴∠3=65 .
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
A.90°B.105°C.120°D.135°
【答案】B
【解析】
【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.
【详解】作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.
2、牙齿型
解法
点拨：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
② 【 个拐点】
例题6
16.如图，两直线 、 平行，则 （ ）．
A. B. C. D.