定义2设R是交换环，I是R的真理想，如果I满足条件：对 若 则必有 或 ，则称I是R的素理想。
易见，I是素理想 若 ，则
例如：若p为素数，则（p）是Z的素理想。该结论由素数的性质即得到。
定理1设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，则
I是R的素理想 是整环
证明： 对 若 ，则 而I是素理想，所以 或 ，即 或 ，所以 中没有零因子，因而 是整环。
对 ，若 ，则 ，而 是整环，所以 或 ，即 或 ，因而I是素理想。
易见，R是整环 是R的素理想。
定义3设R是一个环（不一定交换），I是R的真理想，如果对R的任意理想J，若 ，则必有J=R，则称I是R的极大理想。
定义4设R是有单位元1的一个环（不一定交换），且 （即R中至少含有两个元素），如果R中的每个非零元都有（乘法）逆元，则称R是一个除环；交换的除环称为域。
掌握偏序的概念；了解Zorn引理。
教学重点，难点：
素理想，极大理想的定义；偏序的概念；整环、除环定义
教学内容：
2.5交换环
定义1（1）设R是一个环（不一定交换）， 且 ，如果存在 使 ，则称a是一个左零因子；如果存在 使 ，则称a是一个右零因子；左零因子和右零因子通称为零因子。
（2）如果R是有单位元的交换环且没有零因子，则称R是一个整环。
Zorn引理设（S， ）是一个偏序集，如果S的每个则加法群（R，+）的所有非零元具有相同的阶且若阶有限则必为素数。
证明：若R的所有非零元的阶都无限，则结论显然成立，下面假设R中存在有限的非零元。
设 且 ，a的阶有限，令 ，设b是R中的任意一个非零元，
例如：有理数集Q，实数集R，复数集C关于数的加法和乘法都构成域。
定理2设R是有单位元1的一个交换环，I是R的真理想，则
I是R的极大理想 是一个域
推论1设R是由单位元的交换环，则R的极大理想一定是素理想。
例如：设p是一个素数，由于 是一个域，所以（p）是Z的极大理想，从而也是素理想。
定理3设R是有单位元的非零环（不一定交换），则R必存在极大理想。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第28次课
授课章节
2.5交换环
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确零因子及整环的概念；明确素理想，极大理想的定义；掌握除环、域的定义；
下次课预习要点
整环的因子分解
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
，则R中没有零因子，所以nb=0。
教学内容：
而R中没有零因子，所以nb=0，于是b的阶也有限且 ，对称的有 ，所以 ，从而R的所有非零元素的阶都为n。又易证n为素数。
定义5设R是整环，R中所有非零元素关于加法具有的相同的阶称为R的特征，记为char（R）
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
P48 2、4、6、8、10、12