高考数学一轮复习：
课时作业53 曲线与方程
[基础达标]
一、选择题
1．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
答案：D
2．方程|x |－1＝1－y －1
2
所表示的曲线是( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
解析：由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
|x |－12
＋
y －1
2
＝1，
|x |－1≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1
2
＋y －1
2
＝1，
x ≥1
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋12
＋y －1
2
＝1，
x ≤－1.
故原方程表示两个半圆． 答案：D
3．设点A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )
A ．y 2
＝2x B ．(x －1)2
＋y 2
＝4 C ．y 2
＝－2x D ．(x －1)2
＋y 2
＝2
解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1. 又∵|PA |＝1，
∴|PM |＝|MA |2
＋|PA |2
＝2， 即|PM |2
＝2，∴(x －1)2
＋y 2
＝2. 答案：D
4．[2020·珠海模拟]已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →
＝AP →
，则点P 的轨迹方程为( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x
C ．y ＝2x －8
D ．y ＝2x ＋4
解析：设P (x ，y )，R (x 1
，y 1
)，由RA →＝AP →
知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x
1
2＝1，y ＋y
1
2＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2－x ，
y 1＝－y .
∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，
∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x . 答案：B
5．[2020·福建八校联考]已知圆M ：(x ＋5)2
＋y 2
＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →
＝0，则点G 的轨迹方程是( )
A.x 29＋y 24＝1
B.x 236＋y 231＝1
C.x 29－y 2
4＝1 D.x 2
36－y 2
31
＝1 解析：由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →
＝0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ， ∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6>25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2
＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1，故选A.
答案：A 二、填空题
6．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，0(a ＞0)，且满足条件sin
C －sin B ＝12
sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．
解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |
2R ，
即|AB |－|AC |＝1
2
|BC |，
故动点A 是以B ，C 为焦点，a
2为实轴长的双曲线右支．
即动点A 的轨迹方程为16x 2
a 2－16y
2
3a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．
答案：16x 2
a 2－16y
2
3a
2＝1(x ＞0且y ≠0)
7．[2020·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2
＋y 2
＝16，点F (3，0)，P 是圆
E 上任意一点．线段P
F 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为
________________．
解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.
又|EF |＝23＜4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则方程为x 2
4＋y
2
＝1.
答案：x 2
4
＋y 2
＝1
8．[2020·江西九江联考]设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为________．
解析：设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝－x ，y 0＝1
2y ，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋
y 20＝0，即－x ＋1
4
y 2＝0，所以点N 的轨迹方程为y 2
＝4x .
答案：y 2
＝4x 三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线
AP与BP的斜率之积等于－1
3
.求动点
P的轨迹方程．
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则
y－1
x＋1
·
y＋1
x－1＝－
1
3
，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为
x2
4
＋
y2
4
3
＝1(x≠±1)．
10．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝ 5.
因此其轨迹方程为
x2
9
＋
y2
5
＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝
1
2
，c＝2，b ＝
15
2
，因此其轨迹方程为4x2－
4
15
y2＝1
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x≥
1
2
.
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
[能力挑战]
11．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；
(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →
(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程．
解析：(1)设圆的半径为r, 圆心到直线l 1的距离为d ，则d ＝|－22|
12＋12
＝2. 因为r ＝d ＝2，圆心为坐标原点O ，所以圆C 1的方程为x 2
＋y 2
＝4. (2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)， ∵AN ⊥x 轴于点N ，∴N (x 0,0)，
由题意知，(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝x ，y 0＝1
m y .
将点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，1m y 代入圆C 1的方程x 2＋y 2
＝4，得动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 2
4m 2＝1.。