[练案57]第八讲曲线与方程
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( D )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
[解析] MN的中点为原点O，易知|OP|＝1
2
|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点
O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.
2．方程x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是( D )
3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y 轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( D ) A．双曲线B．椭圆
C．圆D．抛物线
[解析] 连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，
即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线，∴D 正确．
4．(2019·金华模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q 点的轨迹方程是( D )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
[解析] 设Q(x ，y)，∵|PM|＝|MQ|，∴M 为线段PQ 的中点，∴则P 为(－2－x,4－y)，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.
5．(2019·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是( B )
A ．圆
B ．两条平行直线
C ．抛物线
D ．双曲线
[解析] 设P(1，a)，Q(x ，y)．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，ay
x ×1
＝－1，x ＝－ay ，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y ＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．
6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下曲线不是．．
“好曲线”的是( B ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 2
25＋y 2
9＝1 D ．x 2＝16y。