用三线摆法测定物体的转动惯量
--实验报告
实验目的
1、了解三线摆原理，并会用它测定圆盘、圆环绕对称轴的转动惯量；
2、学会秒表、游标卡尺等测量工具的正确使用方法，掌握测周期的方法；
3、加深对转动惯量概念的理解。
4、验证转动惯量的平行轴定理
5、研究物体的转动惯量与其质量、形状（密度均匀时）及转轴位置的关系
实验器材
三线摆、米尺、游标卡尺、天平、数字毫秒计、待测物、三线摆仪
实验原理
1、测悬盘绕中心轴转动时的转动惯量
当三线摆下盘扭转振动，其转角θ
很小时，其扭动是一个简谐振
动，其运动方程为：
t T 0
0π2sin θθ= （1）
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有：
mgh I =2
02
1ω （2） 即 2
2ωmgh I = （3） 而 t T
T dt d π2cos π20θθω== （4）
0π2T θω= （5）
将（4-5）式代入（4-2）式得
图1 原理图
2
22π2θmghT I = （6）
从图1中的几何关系中可得
222022)(cos 2)(r R H l Rr R h H -+==θ-+-
简化得 )cos 1(2
02
θ-=-Rr h Hh
略去2
2
h ，且取2/cos 1200θθ≈-，则有：
H
Rr h 220
θ= 代入（6）式得
22
4T H gRr m I π=
（7）
即得公式 2
00
2004T H gRr m I π= （8）
（7）式的适用条件为：
1、摆角很小，一般要求o 5<θ；
2、摆线l 很长，三条线要求等长，张力相同；
3、大小圆盘水平；
4、转动轴线是两圆盘中心线。
实验时，测出0m 、H r R 、、及0T ，由（8）式求出圆盘的转动惯量0I 。
2、测圆环绕中心轴转动的转动惯量
（1）若在下圆盘上放一质量为m ，转动惯量为I （对O 1O 2轴）的物体时，测出周期T 整个扭转系统的转动惯量为 I ’=()02020
4m m gRr I I T d π++=
(9)
那么，被测物体的转动惯量为I=I ’-I 0
实验时，测出0m 、m 、H r R 、、及T ，由（8）式求出物体的转动惯量I 。
（2）对（8），（9）式做数学处理
2
00000I I m m T I m T ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭ 200011I m T I m T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
2011m T I I m T ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎢⎥=+- ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
实验时，测出0
m 、m 、及T 即可求出物体的转动惯量，减少了测量项，误差相对减小。
3、验证平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的
轴的转动惯量J C 加上刚体质量与两轴间距离h 的二次方的乘积，即
2C J J mh =+
这就是平行轴定理。
在验证转动惯量的平行轴定理时，将两个直径为D 柱、质量都为2M ，形状完全相同的圆柱体对称地放置在悬盘B 上，使圆柱体的中心轴到转轴的距离为d 。
则两圆柱体和悬盘共同绕转轴的转动惯量2J 为
2
022022
1
(2)24m M gRr J J J T h π+=+=柱 式中，2T 为该系统绕轴的摆动周期。
由此，可测定一个圆柱
体移轴后的转动惯量J 柱 202202
1(2)142m M gRr T J J h π+⎡⎤
-=⎢
⎥⎣⎦
柱 根据转动惯量的平行轴定理，可以计算转动惯量的理论值
2
22212
J M r M d '=+柱柱
其中2
212
M r 柱是圆柱体对其中心轴的转动惯量。
实验步骤
1. 调节上下盘水平调节上盘绕线螺丝使三根线等长；以水平仪为参照，调节底脚螺丝，，直至上下盘面水准仪中的水泡位于正中间。
2. 调节霍尔探头和毫秒仪。
I 0 图2 平行轴定理
(1)调节霍尔探头的位置，使其恰好在悬盘下面粘着的小磁钢的下方5mm左右，此时毫秒仪的低电平指示发光管亮。
(2)调节毫秒仪的次数为“20”次，然后按RESET键复位。
3.测量空盘绕中心轴O
O 转动的周期T0：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动（注意扭摆的转角不能过大，最好控制在5以内）。
周期的测量常用累积放大法，即用计时工具测量累积多个周期的时间，然后求出其运动周期。
如果采用自动光电计时装置光电门应置于平衡位置，即应在下盘通过平衡位置时作为计时的起止时刻，使下盘上的挡光杆处于光电探头的中央，且能遮住发射和接收红外线的小孔，然后开始测量。
4.测出待测圆环与下盘共同转动的周期
T：将待测圆环置于下盘上，
A
注意使两者中心重合，按3的方法测出它们一起运动的周期
T。
A 5.用三线摆验证平行轴定理：将两小圆柱体对称放置在下盘上，测
出其与下盘共同转动的周期T C和两小圆柱体的间距d2。
不改变小圆柱体放置的位置，重复测量5次。
6．其它物理量的测量：
①用米尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b；用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H。
②用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径
D、2D和小圆柱体的直
1
径
D。
C
③记录各刚体的质量。
数据处理
表 1 待测刚体的有关尺寸数据的记录及简单计算
下盘质量=463g，待测圆环的质量=203.12g，圆柱体的质量=99.573g
R=72.1688mm
1、 悬盘绕中心轴的转动惯量
==
20
204测T H
gRr m I π 1.46×10-3kg ·m 2
2008
1
实D m I =
=1.27×10-3 kg ·m 2 误差η=14.9% 2、 圆环的转动惯量
测得=-+=])[(420
0202T m T m m H
gRr I π7.82×10-4 kg ·m 2
实际=+=+=
)(8
1
])2()2[(212222D d m D d m I 6.90×10-4 kg ·m 2 误差η=13.3% 3、 验证平行轴定理
2
022021(2)142m M gRr T J J h π+⎡⎤-=
⎢⎥⎣⎦
柱=2.114×10-4kg ·m 2
2
2
2212J M r M d '=+柱柱=3.16×10-4 kg ·m 2
误差η=33.0%
数据分析
圆环的相对不确定度为13.3%。
圆柱体的不确定度偏大为33.0%。
这个可能是由两个圆柱体大小质量分布不完全相同、与下圆盘接触有晃动造成数据不稳定而导致的。
圆环的不确定度可能来自于所放的位置与中心轴有偏差而造成的。
此外，还可能与圆柱体的分布不完全对称有关。
再者，很可能在扭摆过程中，圆柱体与下盘接触有松动，导致周期不准确。
误差分析
实验值与理论值间的百分误差较大，误差来源可能有以下几种：
1.圆盘没有完全水平；
2.上下圆盘中心点连线不在一条直线上；
3.游标卡尺、米尺的读数误差。
4. 圆盘在扭动运动中同时有摆动。
5. 下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形，将导致上下圆盘中心点连线不在一条直线上。
6.圆盘（或盘环）没有在静止状态下开始启动，圆盘扭摆的角度θ须≥50。
7.测量圆环的转动惯量时，圆环的转轴没有与与下盘转轴重合
14 弘毅班狄福明 2014301020163。