y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
6
控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：
2t 2t 0
x2 y 2
其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种， 三个边界条件为：
tw C1
关于导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
3 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直 接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的 解称之为分析解，或叫理论解；
4 (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的 场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散 点上被求物理量的值；并称之为数值解；
内部节点： Φ m 1 , n Φ m 1 , n Φ m , n 1 Φ m , n 1 0
(m,n+1)
y
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 0 (m-1,n)
y
y
x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
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以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
(nt)w C2
(nt)wh(twtf )
第四章 导热问题的数值解法
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3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
8
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区 域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表 示。
第四章 导热问题的数值解法
2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
y2m ,n
y2
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
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对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 x2 y2
其节点方程为：
ti1,j 2ti,j ti1,j x2
ti,j12ty i,2 j ti,j1v,i,j
0
第四章 导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
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第四章 导热问题的数值解法
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若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no ( x2)
x2m ,n
x2
同样可得：
截断误差
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
左 yd d x t ytm 1 ,n xtm ,n
右
ytm1,ntm,n x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
上xtm,n 1ytm,n 下xtm,n 1ytm,n
内热源：Φ v Φ V Φ x y
第四章 导热问题的数值解法
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Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0
y tm 1 ,n tm ,n y tm 1 ,n tm ,n x tm ,n 1 tm ,n x tm ,n 1 tm ,n
x
x
y
y
Φ x y 0
xy时：tm 1 ,n tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 4 tm ,n x 2 Φ 0
相邻两节点间的距离称步长。 △x, △y 每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点 代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。
第四章 导热问题的数值解法
9
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
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(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分Ad dxtyd dxt
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
第四章 导热问题的数值解法
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可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
第四章 导热问题的数值解法
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
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2 例题条件
即： i v o
单位：[W ]
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i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
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稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0