6. 点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2 （见附图）。求场强和电位的分布，并画出E-r和U-r曲线。 (1)由高斯定理与导体静电平衡性质求得电 场分布： q/(4π ε 0 r2) E= 0 q/(4π r<R1 r<R1 R1<r<R2 r>R2 求得： r2)dr+
∫r
R
R2 R1
，则：
r U1-U=∫R λ /(2 πε 0 r)*dr= λ /(2 πε 0 )*ln(r/R1)
1
=2πε 0 (U1-U2)/ln(R2/R1) 故R1<r<R2处的电势
U=U1-(U1-U2)/ln(R2/R1)*ln(r/R1) U-U2= ∫ λ /(2πε 0 r)dr= λ /(2 πε 0 )*ln(R2/r)
{ E d =E d { q d /(ε S)=q d /( ε S) ε
q1+q2=q
1 1
q1+q2=q
1 1 0
2 2
2 2
0
C B
A
q1=q/(1+d1/d2)=q/(1+0.5)=2.0 ×10-7(库仑） 库仑） 库仑 q2=q-q1=1.0 ×10-7(库仑） 库仑） 库仑 板电势： （2）A板电势：UA=E1d1=q1d1/(ε0S) ） 板电势 ε =2.0 ×10-7 × 2.0 × 10-3/(8.85 × 10-12 × 200 × 10-4) =300(伏） 伏
∆U =U1-U2=0
U1=U2+ ∆U =0+ ∆U =q/(4πε 0 )*(1/R1-1/R2) U2=1/(4πε 0 )*Q(R3-R1)/(R2R3-R1R3+R1R2)
=9.0*109*1*10-10(1-1/3)*102=60(伏） (5)U1=0
=9.0*109*11*10-10*3*10-2/[(3*4-1*4+1*3)*10-2]=270(伏)
∆U =U1-U2= -270(伏)
10. 假设范德格喇夫起电机的壳与传送带上喷射电荷的尖针 之间的电位差为此。3.0*106伏特，如果传送带迁移电荷到球 壳上的速率为3.0*10-3库仑/秒，则在仅考虑电力的情况下，必 须用多大的工功率来开动传送带？
所用功率： p=W/t=q* V /t=3*10-3*3.0*106=9.0*103(瓦） ∆ （其中q/t=3.0*10-3库仑/秒）
∞
∞ R3
(2)两球电势差：U1-U2=q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2) (3)此时U1=U2, ∆ U =U1-U2=0 (4)若外球接地 ,U2=0,则:U1-U2=∆ U U1=U2+∆ U =q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2) (5)若内球接地，电势为零，此时内球电荷为 e,则: U1=+e/(4 πε 0 R1)+(-e)/(4πε 0 R2)+(Q+e)/(4 πε 0 R3)=0 外球：U2=(Q+e)/(4 πε 0 R3) 解之：U2=Q*(R3-R1)/[4 πε 0 (R1R2-R1R3+R2R3)] 两球电势差：U1-U2=0-U2= -U2 (+e)/R1+(-e)/R2+e/R3+Q/R3=0 e=(Q/R3)/(1/R1+1/R2-1/R3)=QR1R2/(R1R3+R2R3-R1R2)
第二章
1.如图所示，一平行板电容器充电后，A、B两板上电荷的面密 如图所示，一平行板电容器充电后， 、 两板上电荷的面密 如图所示 为两板间任一点， 度分别为 σe 和 -σe 。设P为两板间任一点，略去边缘效应（或 σ 为两板间任一点 略去边缘效应（ 者把两板当作无限大也一样）。 者把两板当作无限大也一样）。 解： 1）求A板上的电荷在 点产生的电场 板上的电荷在P点产生的电场 （ ） 板上的电荷在 强度E ； 强度 A； 板上的电荷在P点产生的电场 （2）求B板上的电荷在 点产生的电场 ） 板上的电荷在 强度E ； 强度 B； 两板上的电荷在P点产生 （3）求A，B两板上的电荷在 点产生 ） ， 两板上的电荷在 的电场强度E； 的电场强度 ； 板拿走， 板上的电荷如何 （4）若把 板拿走，A板上的电荷如何 ）若把B板拿走 分布？ 板上的电荷在 板上的电荷在P点产生的电场强度 分布？A板上的电荷在 点产生的电场强度 为多少？ 为多少？ σe
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
-σe σ P -
解： （1）由高斯定理求得无穷大平板外： ）由高斯定理求得无穷大平板外： E1＝ σe/ 2ε0方向向右。 ε 方向向右。 （2）同理， E2＝ - σe/ 2ε0方向向右。 ）同理， ε 方向向右。 （3）由叠加法得，求得： ）由叠加法得，求得： E＝E1＋E2＝ σe/ε0方向向右。 ＝ ε 方向向右。 板移走， 板电荷仍然均匀分布 板电荷仍然均匀分布。 （4）若B板移走，A板电荷仍然均匀分布。 ） 板移走 E＝ σe/ 2ε0 ，方向向右。 ＝ ε 方向向右。
8. 半径为R1的导体球带有电荷q球内有一个内外半径为R2，R3的 同心导体球壳，壳上带有电荷Q（见附图）。（1）求两球的电位 U1和U2；（2）两球的电位差 ∆U ；（3）以导线把球和壳联接在 一起后，U1，U2和 ∆U 分别是多少？（4）在情形（1），（2） 中，若外球接地，U1 ，U2和 ∆U 为多少？（5）设为球离地面很 远，若内球接地，情况如何？ Q v q (1)电场 R2 分布： 0 r<R1 R3 E=q/(4 r2) R <r<R
R2 r
14 一根长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b 的同轴导体圆筒，两者互相绝缘，外筒接地，它的电位为零。 导线电位为U。求导线和筒间的电场强度分布。 设导线单位长度带电量为λ ，则其间电场：
∫ λ /(2 πε 0r)*dr= λ λ =2πε 0 U/ln(b/a)
U=
b a
E= /(2πε 0 r) λ
/(2πε 0 )*ln(b/a)
4.两块带有等量异号电荷的金属板 和b,相距 毫米，两板的面 两块带有等量异号电荷的金属板a和 相距 毫米， 相距5.0毫米 两块带有等量异号电荷的金属板 积都是150平方厘米，电量大小都是 平方厘米， 库仑， 板带正电 积都是 平方厘米 电量大小都是2.66 × 10-8库仑，a板带正电 并接地（见附图）。以地的电位为零，并略去边缘效应， ）。以地的电位为零 并接地（见附图）。以地的电位为零，并略去边缘效应，问： 板的电位是多少？（ 间离a板 毫米处的电位是 （1）b板的电位是多少？（ ）a 、b间离 板1.0毫米处的电位是 ） 板的电位是多少？（2） 间离 多少？ 多少？ ），故 板电势 板电势： （1）两板间电场 ）两板间电场E= σ /ε0 =Q/ （ε0S），故b板电势： ε ）， a v v a Ub =∫ E dx = ∫ − Edx = - Qd/（ε0S） (d= ba ) （ ）
（2）离球心r=1厘米处电势： U=q/(4 )*(1/r-1/R1)+q/(4 R2)
=9.0*109 *4*10-10(1/0.01-1/0.02)+120=3.6*(100-50)+120 =180+120=300(伏） （3）把点电荷移开球心爱厘米，只改变球壳内表面电荷分布， 不影响球壳外表面电荷分布。球壳电势仍为本120伏.
9. 在上题中设q=10-10库，Q=11*10-10库，R1=1厘米，R2=3厘米， ∆U R3=4厘米，试计算各情形中的U1，U2和 ，并画出U-r曲线 来。 (1)U1=q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2)+(Q+q)/(4πε 0 R3) =9.0*109[10-10/0.01-10-10/0.03+(11+1)*10-10/0.04]=331(伏） U2=(Q+q)/(4πε 0 )=9.0*109*(11+1)*10-10=271(伏） （2） ∆U =U1-U2=331-271=60（伏） （3）U1=U2=271（伏） （4）U2=0
5 . 三平行金属板 B和C，面积都是 三平行金属板A 和 ，面积都是200厘米2，AB相距 毫米， 相距4.0毫米 厘米 相距 毫米， AC相距 毫米，BC两板都接地（见附图）。如果使 板带正 相距2.0毫米 两板都接地（ ）。如果使 相距 毫米， 两板都接地 见附图）。如果使A板带正 库仑，在略去边缘效应时， 板和C板上感应电荷各 电3.0×10-7库仑，在略去边缘效应时，问B板和 板上感应电荷各 × 板和 是多少？以地的电位为零， 板的电位是多少？ 是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？ 板的电位是多少 解： 1=4.0mm,d2=2.0mm. d (1)A板左边右边电荷分别为 q1,q2, 板左边右边电荷分别为 则:
b
b
= -(2.66 ×10－8 × 5.0 ×10－3 )/(8.85 ×10－12 × 1.5 ×10－2 ) = -1.002 ×102 = -1.0 ×103 (伏) 伏 （2）Up=( Ub /d )d’ =( -1.0 ×103 /5.0) ×1.0= -2.0 ×102 (伏） ） 伏
11。 范德格喇夫起电机的直径为1米，空气的击穿场强30千伏/ 厘米（即球表面的场强超过此值，电荷就会从空气中漏掉）。 这起电机最多能达到多高的电位？ 起电机的球面带电最大极限为Q max 此时电场： E=Qmax/(4 R2)=Umax/R=30*103*102(伏/米） Umax=R*E=0.5*3*106=1.5*106(伏）
R2 q R 1
ε 0r2)
∫
(2)由电势U=
R1<r<R2 r>R2
π ε 0 r2)dr ε 0 )*(1/r-1/R1)+q/(4π ε 0 R2) ∞ R U= ∫r 0*dr+ ∫R q/(4 π ε 0r2)*dr=q/(4π ε 0R2) ∞ U= ∫r q/(4π ε 0 r2)dr=q/(4π ε 0 r)