1 2
3
R3
1 Q q q Q ( ) 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
第二章 静电场与导体
10
电磁学
由于球壳接地 ，
(0)
壳 0
q
R1 R2
R3
3
所以
0 R R R O E d r E d r E d r 0
d a d a 1 1 E d r E d r [ r d r ]d r 2 π0 a a a d d a ln π0 a
第二章 静电场与导体
19
电磁学
故长为 L 一段电容为
C
Q

L π 0 L ln d
d
第二章 静电场与导体
16
电磁学
S
t
d
解 （1）设极板上所带电量为Q ,两极板的电势差为 U,则
d t
Q U E d l E (d t ) (d t ) (d t ) 0 0S 0 0S Q C U d t
第二章 静电场与导体
17
第二章 静电场与导体
2
电磁学
基本知识点 1. 导体的静电平衡条件 ① 导体内部电场强度处处为零，即 E内 0 ； 与它的表面垂直。
导体表面附近的场强为 E外 ，其方向处处 0
② 导体为等势体，导体表面是等势面。 ③ 电荷只分布在导体表面。
第二章 静电场与导体
3
电磁学
2. 电容和电容器
第二章 静电场与导体
13
电磁学
例2 带电量为Q 的导体球壳，内外半径分别 为 R1 和 R2 ，现将电荷量为 q1 的点电荷放在壳内 球壳外表面 离球心 O 为 r1 处，电荷量为 q2 的点电荷放在壳 上的电荷量 球壳内表面 外离球心 O为r2 处，如图所示。试求球心 O 的 上的电荷量 电势。 Q R2 解：根据电势叠加 原理，球心O的电 势等于所有电荷在 O点产生的电势之 和，即
1 w 0E2 电场能量密度 2 1 W 0E 2 dV 电场能量 2 V
第二章 静电场与导体
(真空中)
6
电磁学
例1 习题2-11（P85）
R1 R2
R3
q
d
Q
如图所示，半径为 R1 的导体球带电量 q ，在它 外面同心的罩一金属外壳，其内外壁半径分别 为 R2与 R3 ，已知 R2 2R1 ， R3 3R1 ，今在距 球心为 d 4R1处放一电量为Q的点电荷，并将 导体球壳接地，试问：
电容器的电容
q C 1 2
几种典型电容器的电容（设极板间为真空）： ① 平行板电容器 ② 同心球形电容器
C
0S
d 4 π 0 R1 R2 C R2 R1
2 π 0L C R2 ln R1
4ห้องสมุดไป่ตู้
③ 同轴柱形电容器
第二章 静电场与导体
电磁学
3. 电容器的储能
Q2 1 1 2 W C Q 2C 2 2
1 q1 q2 q1 q1 Q U （ ） 4 π 0 r1 r2 R1 R2
第二章 静电场与导体
表面上的感 应电荷量
q2 在球壳外
15
电磁学
例3 (习题2-12) 如图：平行板电容器两极板的面积都是 S，相距 为d其间有一厚度为t 的金属板与极板平行放置， 面积亦是S，略去边缘效应。 S （1）求系统的电容C ; （2）金属板离两极板 t 的距离对系统的电容是 否有影响？
第二章 静电场与导体
9
dq q S1 4 π 0 R1 4 π 0 R1 q
R3
电磁学
Q Q dq S3 4 π 0 R3 4 π 0 (3R1 ) 4 π 0 R3 Q
由电势叠加原理，球心 处的总电势为
R1
q
R2
d
Q
O Q S S S
第二章 静电场与导体
7
电磁学
（1）球壳带的总电量是多大？ （2）如果用导线将壳内 导体球与壳相连，球壳带 电量是多大？ 分析 因静电感应，电荷重新 分布，导体小球和球壳内、外 表面电荷的分布为
R1 R2
Q
q q
d
Q
R3
q、q、Q
第二章 静电场与导体
8
电磁学
解：（1）取球心O处进行分析比较简单。 Q 球心处的电势是点电荷Q
a
单位长度电容为
C π0 L ln d a
第二章 静电场与导体
20
电磁学
课堂测验
一半径为 a 的导体球带有电量为 Q ，现将一半径为 b 的均匀带电圆环放在球旁边，圆环的轴线通过球心， 环心到球心的距离为 r ，环上的电荷量为 q ，如图， 试求导体球的电势。 Q q b 解 因导体是等势体， a 故球心的电势便是 r 。 球的电势 根据电势叠加原理，球心的电势等于所有电荷在 球心产生的电势之和，即
电磁学
第二章
习 题 课
第二章 静电场与导体
1
电磁学
基本要求
• 理解导体的静电平衡条件，掌握导体达到静电平 衡状态时电荷及电场强度的分布特征。能结合静 电平衡条件分析静电感应、静电屏蔽等现象。掌 握存在导体时静电场的场强分布和电势分布的计 算方法。 • 掌握电容的定义及其物理意义，掌握典型电容器 电容及电容器储能的计算方法。 • 理解电场具有能量，掌握带电系统和静电场能量 的计算方法。
（2）无影响
电磁学
S
0S C d t
讨论
t
0S
d t
t 0
d

I、当t 0时，C im
0S
d
d t 此题也可看作是两个电容器串联而成，其中 0S 0S C1 C2 d1 d 2 d t d1 d2 0S 0S C1C2
t 0
II、当t d时，C im
第二章 静电场与导体
21
电磁学
q 0
b
q
Q
a
r
Q q q 4 π 0a 4 π 0 r 2 b2 q 是圆环上的电荷在球面上产生的感应电荷量
导体球的电势为
Q q 4 π 0a 4 π 0 r 2 b2
第二章 静电场与导体
22
电磁学
作业：习题2-25
q1
R1
r1
O
r2
q2
q1 q2 q q U 4 π 0 r1 4 π 0 r2 4 π 0 R1 4 π 0 R2
第二章 静电场与导体
14
电磁学
Q
由高斯定理知
R2
R1
q q1
由电荷守恒定律知
q1
r1 O
r2
q2
q q1 Q q2
因q2 0，于是得所求得电势为
第二章 静电场与导体
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电磁学
Q dq 0 4 π 0 d Q 4 π 0 R3
Q Q
Q 0 40 d 40 R3 Q
注释
R1 R2
R3
d
Q
3 Q Q 4
由于 Q 的存在，球壳外表面的电荷分布是不均匀的。 当球体与球壳相连后，成为一个等势体，由静 电平衡条件知，电荷只能分布在导体的外表面上， 所以此时只有球壳的外表面带电 Q 。
4. 带电体系的静电能
1 n （点电荷系） W Qi i 2 i 1 1 1 W d V d S 2S 2V
（ 为所有电荷在体积元 d V 所在处激发的电势） （ 为所有电荷在面积元 d S 所在处激发的电势）
第二章 静电场与导体
5
电磁学
计算电容的一般方法 先假设电容器的两极板带等量异号电荷， 计算出两极板间的场强，再计算出电势差，最 后代入电容器定义式计算电容。 5. 电场能量和能量密度
o
1 2
O E d l
d
Q
o
qdr q ( 1 1 ) 4 π 0 r 2 4 π 0 R1 R2 R1 R1 q 1 1 ( ) 4 π 0 R1 2 R1
E d r
R2
R1 R2
R2
球与球壳之间的电势差就等于球体的电势。
0S

于是
C
C1 C2

d1 d 2

d t
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第二章 静电场与导体
电磁学
例4 (习题2-13)
解 P点电场强度
E E E

P

er
E
o er er 2 π 0r 2 π 0 (d r )
2a
d a
r
d
两导线的电势差
和三个导体球面上的电荷 在O点产生电势的叠加。
分别为 Q
Q Q 4 π 0 d 4 π 0 (4 R1 )
R1 R2
q q
d
Q
由高斯定理可得球壳内表面S2 上的总电量为 q q dq q q S2 4 π 0 R2 4 π 0 R2 4 π 0 (2 R1 ) q
第二章 静电场与导体
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第二章 静电场与导体
11
电磁学
q 1 1 q Q q q Q ( ) ( ) 4 π 0 R1 2 R1 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
Q
解得
3 Q Q 4
q q
R1 R2
R3
d
Q
球壳带的总电量为
3 Q q Q q 4
（2）当导体球与壳用导线连接时，仍用上述的电 势叠加原理计算球心O点的电势，有