§3.4 函数的应用(Ⅱ)
【学习要求】
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
【学法指导】
通过建立指数函数、对数函数、幂函数模型解决生活实际问题,体验函数模型应用的广泛性,提高应用已学知识分析问题解决问题的能力.
研一研：问题探究、课堂更高效
探究点一 指数函数型
例1 1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%,问哪一年我国人口总数将超过14亿？
小结：解决应用题的步骤:(1)读题,找关键点;(2)抽象成数学模型;(3)求出数学模型的解;(4)做答.
跟踪训练1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度
是T,则T －T α＝(T 0－T α)·⎝⎛⎭⎫12t h ,其中T α表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的
房间中,如果咖啡降到40℃需要20 min,那么降温到35℃时,需要多长时间(结果精确到0.1)?
探究点二 复利问题
例2 有一种储蓄按复利计算利息,本金为a 元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的函数式.如果存入本金1 000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?
小结：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.
跟踪训练2 某公司为应对金融危机的影响,拟投资100万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少钱？(结果精确到0.01万元)
探究点三 对数函数模型的应用
例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
(1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用
小结：(1)解决应用题的基础是读懂题意,理顺数量关系,关键是正确建模,充分注意数学模型中元素的实际意义.
(2)对数函数模型的一般表达式为:f(x)＝mlog a x＋n(m,n,a为常数,a>0,a≠1).
跟踪训练3燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为
函数v＝5log2Q
10,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少？
练一练：课堂检测、目标达成落实处
1.细菌繁殖时,
A.75
B.100
C.150
D.200
2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000,而手套出厂价格
为每双10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为()
A.200双
B.400双
C.600双
D.800双
3.如图所示,要在一个边长为150 m的正方形草坪上,修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路,如果要使绿化面积达到70%,则道路的宽为________m(精确到0.01 m).
课堂小结：
1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.
2.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.。