2017届文科数学立体几何大题训练
1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．
（Ⅰ）求证：DM 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；
（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．
3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点且1
,2
DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高.
（Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ； （Ⅱ）求证：PH BC ⊥；
（Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面PAB 说明理由. F A
D P
C
H
4. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的
中点。

（1）若
，求证：平面
；
（2）点在线段上，
，试
确定的值，使；
5. ．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，
2
43
AB AE AD ===，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面
BCDE .
⑴ 求证：平面PBE ⊥平面
PEF ；
⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积.
P
B
C E
D F
E
6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
90ABC BCD ∠=∠=，PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H 是AD
中点.
（Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积.
7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小．
S
8. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点．
（Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；
（Ⅱ）设AB =1，求多面体ABCDE 的体积．
9.如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，
2
43
AB AE AD ===，现将
P
E
D E
ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .
⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积.
10. 右图为一组合体，其底面
ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，
且22PD AD EC ===
（Ⅰ）求证：//BE 平面PDA ； （Ⅱ）求四棱锥B CEPD -的体积； （Ⅲ）求该组合体的表面积．
11. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD
为
平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，E 为SD 的中点，已知
45222ABC AB BC ∠===，，， 3.SB SC ==
（Ⅰ）求证：SA BC ⊥；
（Ⅱ）在BC 上求一点F ，使//EC 平面SAF ； （Ⅲ）求三棱锥D EAC -的体积.
12. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为32的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 中点．
（Ⅰ）求证：1AA BC ⊥；
（Ⅱ）当侧棱1AA 和底面成45角时， 求
11A BB C C V -
（Ⅲ）若D 为侧棱1AA 上一点，当DA
D
A 1为何值时，11BD A C ⊥．
13. 如图，已知三棱锥ABC P -，
90=∠ACB ，D AB CB ,20,4==为AB 中
点，M 为PB 中点，且PDB ∆是正三角形，PC PA ⊥．
（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥BCD M -的体积．
14．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=25，PD=42，E 是PD 的中点 (1)求证：AE ⊥平面PCD ；
(2)若F 是线段BC 的中点，求三棱锥F-ACE 的体积。

D
P
M
C
B
A
15. 如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱6=PA ,E
为BC 的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。

（1）证明：BF AC ⊥；
（2）当直线ACF PE 平面//时，求三棱锥
ACD F -的体积.
16. 如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，
90,ACB ∠=122AC AA BC ===，D 为1AA 的
中点.
（I ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （II ）求1C 到平面1B CD 的距离．
17.如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．
求证：（1）EC ABC ⊥平面；
（2）求三棱锥1A EFC -的体积.
18. 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD=60︒
，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2.
（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。

A
B
F
C
C 1
E B 1
第18题图
19. 如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，
160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．
求证：（1）EF ∥平面11BB C C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC
20.已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
)10(,<<==λλAD
AF
AC AE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD
C
E F
E
D
B
A
C。