第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。

常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。

2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。

2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点B。

则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

四个系统均为一阶系统。

2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。

)(t +_1R ++__u )1R ++u )__)(a ++__C u ))(b )(c )(d题图2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

(a)1212212222212)()(1//)1(//)1()()(R s L C R R LCs R R s LCR R CsR Ls R Cs R LsR Cs s U s U r c ++++=+⨯+++= (b)1)(1)(1)1//(1//1)()(21221122121221122121221111+++++++=++-=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R sC R s C R sC R s U s U r c (c) 2121212212)()//(1)//(1)()(R R s L C R R LCs R Ls R Ls R CsR Ls R Cs s U s U r c +++++=+++= (d)sC R Rs C R s C R R sC R s C R s C R sC s U s U r c 121121211//)1(//)1(1//)1(1)()(+⨯++++++=1)2(1221221212212+++++=s RC RC s C C R s RC s C C R2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。

题图2.6解（1）对图（a ）所示系统，由牛顿定律有即（2）对图（b ）所示系统，由牛顿定律有其中2.7 求图( 题图2.7) 所示机械系统的微分方程。

图中M为输入转矩，C m为圆周阻尼，J 为转动惯量。

圆周半径为R，设系统输入为M（即M(t)），输出为（即），题图2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：消除中间变量x，即可得到系统动力学方程+k(c)2.8 求图( 题图2.8) 所示系统的传递函数（f(t)为输入，y2(t)为输出）。

解分别对，进行受力分析，列写其动力学方程有对上两式分别进行拉氏变换有消除得2.9 若系统传递函数方框图如图(题图2.9) 所示, 求：(1) 以R(s)为输入，当N(s) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。

(2) 以N(s)为输入，当R(s) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。

(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。

题图2.8 题图2.9解（1）以为输入，当N()=0时：若以C()为输出，有若以Y ()为输出，有若以B ()为输出，有若以E ()为输出，有（2）以为输入，当R()=0时：若以C ()为输出，有若以Y ()为输出，有若以B ()为输出，有若以E ()为输出，有（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。

2.10 求出图( 题图2 .10) 所示系统的传递函数)(/)(S X S X i o 。

题图2.10G 1G 2G 3G 4H 1H 3G 4H 3H 4G 4-+--X 0(s)-G 1G 2G 4H 1H 3 -H 3G 4---Xi(s)X 0(s)G 31+G 3G 4H 4-G 4H 3 -H 3G 4-Xi(s)X 0(s)G 1G 2G 31+G 3G 4H 4-G 2G 3H 3-解方法一：利用公式（2.3.1），可得方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b ）2.11 求出图( 题图2 .11) 所示系统的传递函数)(/)(S X S X i o 。

解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b ）题图2.11H 3+Xi(s)X 0(s)G 4+G 4+-G 4G 1G 3G 5H 3-Xi(s)X 0(s)G 4+G 1G 2G 3G 1G 2G 3G 1G 2G 31+G 1G 2G 3H 3H 42.12 图(题图2 .12) 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。

1m 代表汽车质量，B 代表振动阻尼器，1K 为弹簧，2m 为轮子的质量，2K 为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。

题图2.12问题2 质点振动系统。

这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。

代表汽车质量，B 代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。

解答：拉氏变换：2.13 液压阻尼器原理如图(题图2.13)所示。

其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设i x 为输入位移，o x 为输出位移，k 弹簧刚度，c 为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。

X 0X tk题图2.13解：1）求系统的传递函数 活塞的力平衡方程式为)]()([)(t x t x dtdct kx o i o -= 经拉氏变换后有)]()([)(s X s X cs s kX o i o -=解得传递函数为1)()()(+==Ts Tss X s X s G i o 式中，RC T =为时间常数。

2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图(题图2.14)所示，试求闭环传递函数)(/)(s U s U r cR 0R 1— K — K — KC 1C 2R 0R 0R 0R 2uU题图2.14解：式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得即所以：2.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图 2.15)所示。

已知电位器最大工作角度0max 330=θ，功率放大级放大系数为3K ，要求：(1) 分别求出电位器传递系数0K 、第一级和第二级放大器的比例系数1K 和2K ； (2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数)(/)(s s i o θθ；10k+SMTG30k20k10k— K 1— K 2+15V-15V+15V -15VK 0θ10k10k功放K 3K 0θ+题图2.15 位置随动系统原理图解： （1）=3=2（2）系统结构图如下：（3）系统传递函数2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求： (1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；(2)画出系统结构图（设可控电路传递函数为)1/(32+s K τ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为4K 和5K ）；(3)简化系统结构图，求系统传递函数)(/)(s U s i Ω。

RC 1+—负载SMTGU iRR 1R 2RRC 2— K— KU a速度调节器电流调节器电流互感器晶闸管电路扼流圈ωU f题图2.16 直流电动机调速系统原理图解：（1）速调流调（2）系统结构图如下(3)简化结构图，求系统传递函数因为求系统传递函数，所以令，系统结构图如下：所以：。