2017年上海市高三数学竞赛
（2017.03.26）
一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1、函数y = lg[arcsin(2x 2
－x )] 的定义域是__________，值域是__________ .
2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ .
3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ .
4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ .
5、设1
211=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ .
6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。

7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ：
2
15=)1()(222a y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是__________ .
8、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。

例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号 排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。

二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）
9、已知数列{}n a 的各项均为正实数，a 1 = 1，而且对于一切正实数n ，均有 )(2=211+n n n a a a a a ＋＋＋ .
（1）证明：数列{}n a 的每一项都是完全平方数；
（2）证明：9 | a 100 .
10、给定正实数a ，若复数ti
a z ＋1=（这里i 是虚数单位，t 是实参数）满足 | z －i | 的最大值是2，求a 的值。

11、求满足2n cos20°cos40°…cos(2n·10°) = 1的所有正整数n.
12、将5×5矩阵的每个元素都取成1，2，3，4，5这5个数之一，要求每行的5个元素互不相等，而对任意相邻两行，恰存在一个k∈{1，2，3，4，5}，使得这两行在第k列上的元素相等。

此时，若矩阵中存在某一列上相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“有趣的”；否则，若任意一列上都不出现相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“无趣的”。

试比较有趣的矩阵的个数x与无趣的矩阵的个数y的大小。