二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学 车保勇[摘 要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围．[关键词] 二项式定理 推广 方幂 应用1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：(),(,,0)n nr n r rn r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．2 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围．3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为：011r n rrn n()nnn nnnna b C a C a b C ab C b --+=+++++0,(,,0)nr n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑其中r n r rr 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!!r n n C r n r =-叫做二项式系数．若令 -n r q =，则!!!r n n C r q =，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式:()[()]n na b c a b c ++=++()n r rr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r qn r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：(,,p q r n)r qp q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=， 其中()()!(r)!!!!q!q !!q!p!r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2]类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为!(,,,)!!!s!p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ， 其中!!!!s!n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为： 定理１12()n m a a a +++12121212!!!!m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．在证明之前，先分析一下上述定理的结构．如果像二项、三项那样展开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证明．证明 设12121212()(,,,)mr r rn m m ma a a f r r r a a a +++=∑，它的一般项可以这样得到，从n 个式子12()m a a a +++，，12()m a a a +++中由1r 个式子里取1a 有1r n C 种方法，再由剩下的1n r -个式子中选2r 个式子取2a 有21r nr C -种方法，依次类推，从最后的121m m n r r r r -----=个式子中选m a 有121m m r n r r r C -----种方法．于是选取这m 个元素总共有121121m m r r r n n rn r r r C C C ------种方法，将所得元素相乘即为1212m r r r m a a a ，因此一般项系数为12112112(,,,)m m r r r m n n r n r r r f r r r C C C ------=()()()()112111212!!!!!!!!m m n r n r r r n r n r r n r r r ------=---12!!!!m n r r r =． 于是定理得到证明．这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美．[3]3.2 推广二由数式二项式定理可得0(1),(,,0)nn r r n r x C x n r N r n =+=∈≤≤∑．这里的n 是正数，当指数为负整数时，又是什么 情形呢？定理2 当11x -≤≤,n 为正整数时{}{}212(1)1n n nx x x --+++={}33n x ++{}nrrx+{}0n r r r x ∞==∑．其中{}(1)(2)(1)!n r n n n n r r +++-=．证明 (1)当1n =时，左边111(1)xx --=-=，右边2311111limnn xxxx x x →∞---=++++==，左边＝右边，即上式成立． (2) 假设当n k =时，有{}{}{}{}231231lim()k k k k rrr x x xx →∞+++++{}0lim k rr r r x∞→∞==∑成立，则当1n k =+时，考虑{}{}{}{}1121311231(1)()k k k k rrx x x x x +++++++++-{}{}{}{}{}{}1112111112111(((1)))k k k k k rk r rr rx x x x+++++++-++++=----{}{}{}{}211121k k k rk r rrx x x x++++++=-，其中 {}111(1)(2)()!k r r r k k k r r xx ++++++=1()!!!r k r k r x ++=1()(1)(1)!r k r k r r k x +++-+=1(1)k r x r +≤+，因为 1lim(1)0k r r x r +→∞+=， 所以 {}11lim 0k r r r x ++→∞=， 所以 {}{}{}{}1121311231lim(1)[()](1)k k k k rkrr x x x x x x ++++-→∞+++++-=-，两边同时除以1x -得{}{}{}{}112131(1)1231lim()(1)k k k k rk rr x x x x x ++++-+→∞+++++=-，即当1n k =+也成立． 综上所述，定理成立． 3.3 推广三设1m ≥，对于多项式2(1)nmm nj j j x xx a x =++++=∑，约定展开式中含jx项的系数(,)j j m a f n j x =，易得11(,)j j n a f n j x C ==．定理3 设2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++，则(1)203nn jj a==∑；(2) 13521242n n a a a a a a a -++++=+++；(3) 10361472583n a a a a a a a a a -+++=+++=+++=；(4) 当n 为奇数时，0482610a a a a a a +++=+++； (5) 当n 为偶数时，1593711a a a a a a +++=+++．证明 若令1x =±，则可得结论(1)和(2)成立．(3)令31()x ωω==则有 2201220n n a a a a ωωω++++=，即 2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω+++++++++++=， 由复数相等的定义可知结论(3)成立．下面证明结论(4)和(5): 令x i =则有220122n n n i a a i a i a i =++++，整理可得0482610[()()]a a a a a a +++-+++1593711[()()]n a a a a a a i i ++++-+++=．当n 为奇数时，上式右边为纯虚数，所以左边实数部分为0，即结论(4)成立； 当n 为偶数时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为0，即结论(5)成立． 4 二项式定理的应用二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化． 4.1 在求值问题中的应用巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化．例1 用{}x 表示实数x 的小数部分，若9918)a =，则{}a a 的值为多少？分析：此题表面看较为困难，但若能发现0181<<，且18)1=，便能迎刃而解．解 令9918)b =，因为18)(0,1)∈，所以(0,1)b ∈， 由二项式定理有99099198999918)18a C C ==+⨯+9998989999999999181818r r r C C C -+⨯++⨯+，99099198999918)18b C C ==-⨯+9998989999999999(1)181818r r r r C C C -+-⨯++⨯-， 因为198999999992[1818]a b C C -=⨯++是正整数，所以 {}a b =，所以 {}99999918)18)18)]1a a ===．在挖掘出倒数关系18)1=的基础上，巧妙构造9918)b =来替代{}a 是顺利解题的关键．[5]例2 若21000(1)x x ++的展开式为220000122000a a x a x a x ++++，求0361998a a a a ++++的值．(2001年全国高中数学联赛题)解 令1x =，可得，100001220003a a a a =++++； (1)令x ω=，可得，2200001220000a a a a ωωω=++++， （其中i 2321+-=ω，则31ω=，且210ωω++=）； (2)令2x ω=，可得24400001220000a a a a ωωω=++++； (3)以上三式相加可得1000036199833()a a a a =++++， 所以 99903619983a a a a ++++=．对求有关二项式系数和的问题，常用赋值法．一般地，多项式()f x 的各项系数和为(1)f ，奇次项系数的和为1[(1)(1)]2f f --；偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f +-．[6] 4.2 在近似计算问题中的应用求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计算简捷．[7]例3 求5(0.997)的近似值(精确到0.001)．分析: 55(0.997)(10.003)=-，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果．解 55(0.997)(10.003)=-1225555510.003(0.003)(0.003)C C C =-+-- 150.0030.985≈-⨯=． 4.3 在整除与余数问题中的应用二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一．例4 试证大于2(1n (n N ∈)的最小整数能被12n +整除．(第六届普特南数学竞赛题)分析: 由2(1n 联想到其对偶式2(1(0,1)n -∈，考虑二者之和即可． 证明 因为 011<<，所以2(1(0,1)n ∈． 由二项式定理可得22212(1(12(33)n n n n n C -+=++ 是偶数，记为2()k k N ∈，则大于2(1n 的最小整数为2k ． 又因为22222(1(1[(1][(1]n n n n k =++-=-2[(2(2]n n n =+-， 由二项式定理知(2(2n n ++是偶数，记为112()k k N ∈，所以 1122n k k +=． 即命题得证．例5 今天是星期日，再过10010天后是星期几？ 分析：此题实质是求10010除以7后的余数问题．解 100505010100(98)==＋20501494949505050505050989829822C C C C =+⨯++⨯+，因为前50项都能被7整除，只需考查502除以7所得余数.50481616242484(71)=⨯=⨯=⨯+0161151516161616164[777]C C C C =++++．于是得余数为4，故10010天后是星期四． 4.4 在不等式问题中的应用利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用．一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式．特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用．例6 求证：1112(1)3,()2n n n N n -≤+≤-∈．证明 由二项式定理得01221111(1)n n n n n n n C C C C n n n n +=++++ 22111n C n=+++2≥．又 01221111(1)n n n n n n n C C C C n n n n+=++++ 1111211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n-=+-+--++--⋅⋅-11122!3!!n ≤++++ 231111122222n -≤+++++1132n -=-．根据实际需要进行实际取舍相关项是这类题的关键．例7 设,a b R +∈，n N *∈，求证:[]22n n na b a b ++≥． 分析: 设a s d =+，b s d =-，(,s d R +∈且)s d >，则2a b s +=，再用二项式定理解题．证明 设a s d =+，b s d =-，(,s d R +∈且)s d >， 于是有()()n n n n a b s d s d +=++-02222[]n n n n C s C s d -=++2n s ≥； 又因为 2a b s +=， 所以 2[]222n n n n n a b s a b s ++≥==． 即题目得证．2a b+≥．在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情[8-13]例8 设,a b R +∈，且111ab+=．求证：对每个自然数n N ∈都有21()22n n n n n a b a b ++--≥-．(1998年全国高中数学竞赛题)分析: 因为,a b R+∈，且111a b+=2≥； ()n n n a b a b +-- 111222221111[()()()]2n n n n n n n n n n a b ab C a b a b C ab a b C -------=++++++再利用均值不等式求证．证明 由 1112a b =+≥⇒， 及二项式定理得()n n n a b a b +--01111n n n n n nn n n nn n C a C a b C ab C b a b ---=++++-- 1122222211n n n n n n nn n n C a b C a b C a b C ab ------=++++111222221111[()()()]n n n n n n n n n n a b ab C a b a b C ab a b C -------=++++++121)n n n n C C C -≥+++212(22)22n n n n +≥-=-．本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷明快．4.5 在多项式问题中的应用在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推广定理可使解题方便快捷．例10 求7(32)x y z +-的展开式中含325x y z 的项．解 直接应用推广定理1有7(32)x y z +-的展开式中325x y z 项为3253257!(3)(2)()3783!2!5!x y z x y z -=-． 例11 求38(21)x x --中4x 的系数．分析: 直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理1可快速解决． 解 38(21)x x --的通项为8!(2)()(1)!!!p q r x x p q r --28!2(1)!!!p q r p q x p q r ++=-． 于是有方程组 24,8;p q p q r +=⎧⎨++=⎩其非负整数解为044p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 125p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 206p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 故38(21)x x --中4x 的系数为 087268!8!8!2(1)2(1)2(1)1540!4!4!1!2!5!2!0!6!-+-+-=-． 5 结论本文首先将二项式定理进行推广，然后系统整理了二项式定理已有的用途，同时提出不同于前人成果的用途，即求解一些特殊极限问题．再以典型实例说明了二项式定理有着十分广泛的应用．二项式定理在中学教材中占有的篇幅并不大，但其有着十分广泛的应用，可以从初等数学跨到高等数学中，可使一些困难问题简洁化．深入挖掘二项式定理及推广定理的应用，不但为教师教学提供参考，提供一种新的解题途径，且拓宽了二项式定理的应用范围．本文存在着两方面的局限：一是推广没有从本质上突破前人的成果，只是将其进一步完善；二是在高等数学中的应用范围有待拓宽．参考文献:[1] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003：156． [2] 耿玉霞．二项式定理的推广及应用[J]．辽宁教育学院学报，2002，19(4)：50—51． [3] 孙幸荣，曹学锋．二项式定理的推广及其应用[J]．广西教育学院学报，2004，15(5)：53—54．[4] 张盛．可换矩阵二项式定理的应用[J]．锦州师范学院学报(自然科学版)，2003，24(3)：62—65．[5] 王荣峰．二项式定理的应用[J]．高中数学教与学，2006，(10)：24—25． [6] 唐先成．二项式定理及其应用[J]．数学通讯，2002，(5)：82—83．[7] 张文娣．二项式定理及其应用[J]．甘肃联合大学学报(自然科学版)，2004，18(4)：90—91．11。