2 3 ) x
求展开式中的特定项
1 9 例3.求( x ) 展开式中的常数项 . x
分析：常数项是指含 x 0 的项，即不含 x的项 解： T
k 1
C ( x)
k 9 k 9 k
9 k
( x)
k
k 9 3 k 2
C (1) x
9 k 2
x C (1) x
k 9 k
1 10 1 2 10 2 k 10 k 10 10 10
5.9 [1 0.5 0.1125 0.015 0.0013125 ]
9.6
环 境 刻 保 不 护 容 缓
10.2万平方公里
点评:近似计算常常利用二项式定理估算前几项
尝试小结
二 项 式 定 理 的 应 用
求展开式：直接用定理（注意符号）
求特定项：用通项
整除或求余数：适当的添项或减项，再利用定理展开
近似计算：利用二项式定理估算前几项
点击高考真题
(2008全国高考）(1 x ) (1 x ) 的展开式中 数是（ A）
4 4
x 的系
A. -4
B. -3
2
C.
3
D. 4
1 n (2007全国高考） ( x ) 的展开式中，常 x
3 5 0 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 c5 c5 x c5 x c5 x c5 x c5 x
1 5x 3 10 x 6 10 x 9 5x 12 x 15
应用二：求展开式中的特定项
2 10 例2.求( x ) 的展开式中第四项的二 项式系数 x 和第四项的系数 .
a b
1 项.
应用三：整除或求余数
例4.求91 除以 100 的余数 .
解: 9192 (90 1)92
1 2 90 91 92 90 92 C92 90 91 C92 90 90 C92 90 2 C92 90 C92
92
(90
92
C 90 C 90 ) 8281
数项为15，则 A. 3
n =（
B. 4
D）
C. 5
D. 6
(2009全国高考） ( x
y)
2
10
的展开式中，x
7 3
y
的系
数和 x
3 7
y
的系数之和等于 — 240
1 8 （2007全国高考） (1 2 x )(1 ) 的展开式中的 x 常数项为 57 1 6 （2007天津）若 ( x ) 二项展开式中 ax 5
n
（ n N ）,这个公式表示的定理叫做二项式定理， 公式右边的多项式叫做 (a b)n 的
展开式
，
k C 1， 2， , n） 其中 n (k 0， 叫做 二项式系数
C a
k n
nk
b
k
叫做二项展开式的通项，通项是指第
k+1
项，展开式共有
n+1
项
二 项 式 定 理 的 应 用
2
系数为
，则
2
a
x
3
的
2
作业:1.课本习题1.3A组 5(1),(2) 2.创新设计
求展开式
求展开式中的特定项
整除或余数问题
近似计算
应用一：求展开式
例 1.求(1- x) (1 x x ) 的展开式
5 2 5
n n n 3 5 a b ( ab ) 分析：由 知，原式可变形为 (1 x )
再展开，比直接展开简便。 解：
(1 x ) 5 (1 x x 2 ) 5 (1 x )
令9 3k 0, 则k 3
3 T4 T31 C9 84
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种 条件的项,或者求某种性质的项,如含有 x 3 项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意:(1)二项式系数与系数的区别.
Tk 1 C (2)
k n k k 表示第 k n
10

问题：若不采取措施，10年之后该地区的沙漠化 面积大概是多少平方公里？（精确到0.1万平方 公里）
5.9 （ 1 5%）
10
0 10 0
5.9 [C 0.05 C 0.05 C 0.05 C 0.05 C 0.05 ]
k 分析：第 k+1 项的二项式系数 ---------- n
c
第 k+1 项的系数--------------------具体数值的积。
3 解： 因为T4 T31 c10 ( x )7 ( 3 2 (2)3 C10 x
3 所以第四项的二项式系数是c10 120. 3 第四项的系数是-c10 8 960.
艾萨克· 牛顿 Isaac newton (1643—1727) 英国科学家。 他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位 物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家。他数学生涯 中的第一个重大成果就是二项式定理。
二项式定理
(a b) Cn0a nb0 Cn1a n1b Cnk a nk bk Cnnbn a 0
目前,我国最严重的沙漠化发生在东起吉林省白 城——西至宁夏盐池的农牧交错地区 。已知该地 区已经沦为沙漠化的面积约为5.9万平方公里。若 再不采取措施，科学家估计以后每年会以5%的速 度向周边地区扩展，那么10年之后该地区的沙漠 化面积大概是多少万平方公里？（精确到0.1万平 方公里）
5.9 （ 1 5%）
91 92 91 90 92 2
可见9192 被100 除的余数是 81
10 变式训练：用二项式定 理证明 11 1能被100整除
例题点评
整除性问题，余数问题，主要根据二 项式定理的特点，进行适当的添项或减项， 凑成 能整除的结构，展开后观察前几项或 后几项,再分析整除性或余数.这是解此类 问题的最常用技巧 .余数要为正整数.