第五章相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求①了解对顶角,知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。
典型例题1.判定与性质例1 判断题:1)不相交的两条直线叫做平行线。
()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
()3)两直线平行,同旁内角相等。
()4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等。
()答案:(1)错,应为“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”。
(2)错,应为“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错,应为“两直线平行,同旁内角互补”。
(4)错,应为“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。
例2 已知:如图,AB∥CD,求证:∠B+∠D=∠BED。
分析:可以考虑把∠BED变成两个角的和。
如图5,过E点EF∥CD,这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明:过点E作EF∥AB,则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)。
∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠D=∠2(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠BED=∠1+∠2,∴∠BED=∠B+∠D(等量代换)。
变式1已知:如图6,AB∥CD,求证:∠BED=360°-(∠B+∠D)。
分析:此题与例1的区别在于E点的位置及结论。
我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角,如果把∠BED看成是大于平角的角,可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此,我们模仿例1作辅助线,不难解决此题。
证明:过点E作EF∥AB,则∠B+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠D+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°(等式的性质)。
又∵∠BED=∠1+∠2,∴∠B+∠D+∠BED=360°(等量代换)。
∴∠BED==360°-(∠B+∠D)(等式的性质)。
变式2已知:如图7,AB∥CD,求证:∠BED=∠D-∠B。
分析:此题与例1的区别在于E点的位置不同,从而结论也不同。
模仿例1与变式1作辅助线的方法,可以解决此题。
证明:过点E作EF∥AB,则∠FEB=∠B(两直线平行,内错角相等)。
∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等)。
∵∠BED=∠FED-∠FEB,∴∠BED=∠D-∠B(等量代换)。
变式3已知:如图8,AB∥CD,求证:∠BED=∠B-∠D。
分析:此题与变式2类似,只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明:过点E作EF∥AB,则∠1+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∵AB∥CD(已知),又∵EF∥AB(已作),∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补)。
∴∠1+∠2+∠D=180°。
∴∠1+∠2+∠D-(∠1+∠B)=180°-180°(等式的性质)。
∴∠2=∠B-∠D(等式的性质)。
即∠BED=∠B-∠D。
例3 已知:如图9,AB∥CD,∠ABF=∠DCE。
求证:∠BFE=∠FEC。
证法一:过F点作FG∥AB,则∠ABF=∠1(两直线平行,内错角相等)。
过E点作EH∥CD,则∠DCE=∠4(两直线平行,内错角相等)。
∵FG∥AB(已作),AB∥CD(已知),∴FG∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
又∵EH∥CD(已知),∴FG∥EH(平行于同一直线的两条直线互相平行)。
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)即∠BFE=∠FEC。
证法二:如图10,延长BF、DC相交于G点。
∵AB∥CD(已知),∴∠1=∠ABF(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠ABF=∠DCE(已知),∴∠1=∠DCE(等量代换)。
∴BG∥EC(同位角相等,两直线平行)。
∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等)。
如果延长CE、AB相交于H点(如图11),也可用同样的方法证明(过程略)。
证法三:(如图12)连结BC。
∵AB∥CD(已知),∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等)。
又∵∠ABF=∠DCE(已知),∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE(等式的性质)。
即∠FBC=∠BCE。
∴BF∥EC(内错角相等,两直线平行)。
∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等)。
强化训练一.填空1.完成下列推理过程①∵∠3= ∠4(已知),__∥___()②∵∠5= ∠DAB(已知),∴____∥______()③∵∠CDA + =180°(已知),∴AD∥BC()2. 如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线,∠EDC=109°,∠ABC=50°则∠A度,∠BDC=度。
3. 如图,AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,则∠AEB+∠CED= 。
4、将点P(-3,y)向下平移3个单位,向左平移2个单位后得到点Q(x,-1),则xy=___________ 。
5、已知:如图,直线AB和CD相交于O,OE平分∠BOC,且∠AOC=68°,则∠BOE=二、选择题1.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40度方向,那么这艘船位于这个灯塔的()A 南偏西50度方向;B南偏西40度方向;C 北偏东50度方向;D北偏东40度方向2.如图,AB∥EF∥DC,EG∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个A 6个B .5个C .4个 D.2个3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是()A、a∥d B 、b⊥d C、a⊥d D、b∥c4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )A. 50°B. 60°C.70°D.80°5.已知:AB∥CD,且∠ABC=20°,∠CFE=30°,A BCDE FGH1A BED CC ABED 则∠BCF 的度数是 ( )A 、 160° B.150° C.70° D.50°6判断题已知,如图,下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是( ) (A )∠1=∠3 (B )∠2=∠3 (C )∠4=∠5 (D )∠2+∠4=180°7.如图,直线c 与直线a 、b 相交,且a //b ,则下列结论:(1)21∠=∠; (2)31∠=∠;(3)23∠=∠中正确的个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 38.下列命题正确的是( )A 、两直线与第三条直线相交,同位角相等;B 、两线与第三线相交,内错角相等;C 、两直线平行,内错角相等;D 、两直线平行,同旁内角相等。
9.如图,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,图中与∠CAB 互余的角有……( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图,已知直线AB ∥CD ,当点E 直线AB 与CD 之间时,有∠BED =∠ABE +∠CDE 成立;而当点E 在直线AB 与CD 之外时,下列关系式成立的是 ( ) A 、∠BED =∠ABE +∠CDE 或∠BED =∠ABE -∠CDE ; B 、∠BED =∠ABE -∠CDEC 、∠BED =∠CDE -∠ABE 或∠BED =∠ABE -∠CDE ; D 、∠BED =∠CDE -∠ABE三、解下列各题:1.如图,已知OA ⊥OC ,OB ⊥OD ,∠3=26°,求∠1、∠2的度数。
321ODCBA2、已知AD ∥BC ,∠A = ∠C ,求证:AB ∥CD 。
D CBA3.如图,AB ∥CD ,求∠BAE +∠AEF +∠EFC +∠FCD 的度数.FE DCBA4.已知,如图AC ⊥BC ,HF ⊥AB ,CD ⊥AB , ∠EDC 与∠CHF 互补, 求证:DE ⊥AC .H F ED CBA5.如图,已知AB ∥ED ,∠ABC =135°,∠BCD =80°,求∠CDE 的度数。
EDC B A6.已知:如图,AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ,AE =AF .求证:AD 平分∠BAC 。
四、如图A 、B 是两块麦地,P 是一个水库,A 、B 之间有一条水渠,现在要将水库中的水引到A 、B 两地浇灌小麦,你认为怎样修水渠省时省料经济合算?请说出你的设计方案,并说明理由。
DG 第6题参考答案2. 1略;121°,84°;3. 90°;4.-10;5。
56° 二.三.1.解:∵OA ⊥OC ,OB ⊥OD ∴∠1+∠2 =90°,∠3+∠2 =90° ∴∠1=∠3=26° ∴∠2=64°2证明:∵AD ∥BC , ∴∠A +∠B =180° ∵∠A = ∠C , ∴∠C +∠B =180° ∴AB ∥CD .2. 解:连结AC . ∵AB ∥DC∴∠CAB +∠ACD =180°∵∠CAE +∠ACF +∠E +∠F =360° ∴∠CAB +∠ACD =180°∴∠BAE +∠AEF +∠EFC +∠FCD =540° 4. 证明:∵HF ⊥AB ,AB ⊥CD ∴CD∥HF ,∴∠CHF +∠HCD =180° ∵∠EDC 与∠CHF 互补, ∴∠EDC = ∠HCD , ∴ED ∥CB ∴∠AED =∠ACB ∵∠ACB =90° ∴∠AED =90° ∴DE ⊥AC .5.解:延长BC 交 DE 于F .DE CF由∠ABC=135°易得∠BFD=45°,又∠BCD=80°,得∠CDE=35°6.证明:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G ∴AD∥EG,∴∠2=∠3, ∠1=∠E,∵AE =AF∴∠E = ∠3,∴∠1 = ∠2,∴AD平分∠BAC。